Металлический шар радиусом 2 см имеет заряд 12 нКл. Вокруг него расположен слой диэлектрика толщиной 7

Krokodil

58

Для решения данной задачи, мы будем использовать закон Кулона, который гласит, что электростатическая сила между двумя точечными зарядами пропорциональна их величинам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Формула для нахождения напряженности электрического поля E, создаваемого шаром с зарядом Q в точке на расстоянии r от центра шара, задается следующим образом:

\[E = \frac{{k \cdot Q}}{{r^2}}\]

где k - постоянная Кулона (9 * 10^9 В * м/Кл^2).

1. Напряженность электрического поля на расстоянии 5 см от центра шара:

\[E_1 = \frac{{k \cdot Q}}{{r_1^2}}\]

\[E_1 = \frac{{(9 \cdot 10^9) \cdot (12 \cdot 10^{-9})}}{{(0.05)^2}}\]

Выполняем расчет:

\[E_1 = \frac{{108 \cdot 10^{-9}}}{{0.0025}}\]

\[E_1 = 43.2 \cdot 10^6 \, \text{В/м}\]

В переводе в В/см:

\[E_1 = 432 \cdot 10^4 \, \text{В/см}\]

2. Напряженность электрического поля на расстоянии 11 см от центра шара:

\[E_2 = \frac{{k \cdot Q}}{{r_2^2}}\]

\[E_2 = \frac{{(9 \cdot 10^9) \cdot (12 \cdot 10^{-9})}}{{(0.11)^2}}\]

Выполняем расчет:

\[E_2 = \frac{{108 \cdot 10^{-9}}}{{0.0121}}\]

\[E_2 = 8.93 \cdot 10^6 \, \text{В/м}\]

В переводе в В/см:

\[E_2 = 89.3 \cdot 10^4 \, \text{В/см}\]

Теперь рассчитаем электростатическую индукцию поля D, которая определяет полное электрическое поле в среде. Формула для расчета D:

\[D = \varepsilon \cdot E\]

где D - электростатическая индукция поля, E - напряженность электрического поля, а \(\varepsilon\) - диэлектрическая проницаемость диэлектрика.

1. Электростатическая индукция поля на расстоянии 5 см от центра шара:

\[D_1 = \varepsilon \cdot E_1\]

\[D_1 = 3 \cdot 432 \cdot 10^4 \, \text{В/см}\]

\[D_1 = 1296 \cdot 10^4 \, \text{В/см}\]

В переводе в нКл/м²:

\[D_1 = 1296 \cdot 10^8 \, \text{нКл/м²}\]

2. Электростатическая индукция поля на расстоянии 11 см от центра шара:

\[D_2 = \varepsilon \cdot E_2\]

\[D_2 = 3 \cdot 89.3 \cdot 10^4 \, \text{В/см}\]

\[D_2 = 267.9 \cdot 10^4 \, \text{В/см}\]

В переводе в нКл/м²:

\[D_2 = 267.9 \cdot 10^8 \, \text{нКл/м²}\]

Графики, отображающие зависимость E(r) от расстояния:

График для напряженности электрического поля E(r):

\[
\begin{align*}
r & : 0.05 & 0.11 \\
E & : 432 \cdot 10^4 & 89.3 \cdot 10^4 \\
\end{align*}
\]

\[
\begin{align*}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
xlabel={Расстояние r, м},
ylabel={Напряженность E, В/см},
xmin=0,
xmax=0.15,
ymin=0,
ymax=500,
xtick={0,0.05,0.1,0.15},
ytick={0,50,100,150,200,250,300,350,400,450,500},
legend pos=north west,
grid style=dashed,
]

\addplot[
color=blue,
mark=square,
]
coordinates {
(0.05,432)
(0.11,89.3)
};
\legend{E(r)}

\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{align*}
\]

График для электростатической индукции поля D(r):

\[
\begin{align*}
r & : 0.05 & 0.11 \\
D & : 1296 \cdot 10^8 & 267.9 \cdot 10^8 \\
\end{align*}
\]

\[
\begin{align*}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
xlabel={Расстояние r, м},
ylabel={Электростатическая индукция D, нКл/м²},
xmin=0,
xmax=0.15,
ymin=0,
ymax=3e12,
xtick={0,0.05,0.1,0.15},
ytick={0,5e11,1e12,1.5e12,2e12,2.5e12,3e12},
legend pos=north west,
grid style=dashed,
]

\addplot[
color=red,
mark=square,
]
coordinates {
(0.05,1296e8)
(0.11,267.9e8)
};
\legend{D(r)}

\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{align*}
\]

Таким образом, мы получили значения напряженности электрического поля и электростатической индукции поля для заданных расстояний от центра шара. Полученные значения подтверждаются графиками, которые показывают убывающую зависимость напряженности и электростатической индукции поля от расстояния от центра шара.