минуту решит на 10-й, то их штраф будет равен 15 минутам. Нужно определить максимальное количество задач, которое

David

65

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Пусть \(x\) - количество задач, которое команда сможет решить за минуту. Поскольку они решают задачи одновременно, это означает, что всего они потратят \(10x\) минут на решение 10 задач.

Согласно условию задачи, если команда решает все задачи за 10 минут, то штраф будет равен 0. Если же команда не успевает решить все задачи за 10 минут, то каждая нерешенная задача будет добавлять 1.5 минуты к штрафному времени.

Таким образом, мы можем выразить штрафное время \(T\) в зависимости от количества задач \(x\) следующим образом:

\[T = \begin{cases} 0, & \text{если } 10x \leq 10 \\ (10x - 10) \cdot 1.5, & \text{если } 10x > 10 \end{cases}\]

Нам нужно найти максимальное количество задач, которое команда сможет решить, и минимальный возможный штраф. Для этого мы можем рассмотреть несколько случаев.

Случай 1: \(10x \leq 10\)
Если команда решает все задачи за 10 минут или меньше, то штрафное время будет равно 0, и максимальное количество задач, которое команда сможет решить, будет равно 10. Нет необходимости уменьшать количество решенных задач, так как они уже укладываются в отведенное время без штрафа.

Случай 2: \(10x > 10\)
Если команда не успевает решить все задачи за 10 минут, то мы должны найти значение \(x\), при котором штрафное время будет минимально. Для этого нам следует найти производную от \(T\) по \(x\) и найти ее корень.

Производная функции \(T\) равна:
\[
\frac{\partial T}{\partial x} = \begin{cases} 0, & \text{если } 10x \leq 10 \\ 1.5, & \text{если } 10x > 10 \end{cases}
\]

Заметим, что производная не имеет корня, значит, штрафное время будет увеличиваться с увеличением количества задач, и не существует оптимального значения \(x\), при котором штрафное время будет минимальным.

Таким образом, максимальное количество задач, которое команда сможет решить, будет равно полному количеству задач (10), а минимальный возможный штраф будет равен 0, если команда укладывается в отведенные 10 минут.