Могут ли четырехугольники с пропорциональными сторонами, заданными числами а) 6, 8, 7, 15 б) 12, 19, 20, 14 в)21

Sladkiy_Pirat

16

Для того чтобы определить, могут ли четырехугольники с заданными сторонами быть окружностями, нужно воспользоваться теоремой Брахмагупты, которая устанавливает условия существования описанной окружности в четырехугольнике.

Теорема Брахмагупты утверждает, что четырехугольник с сторонами \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) может быть окружностью, если выполнено следующее условие:

\((s - a)(s - b)(s - c)(s - d) = abcd\)

где \(s\) - полупериметр четырехугольника, вычисляемый по формуле:

\(s = \frac{{a + b + c + d}}{2}\)

Теперь применим эту теорему к каждому из заданных вариантов:

а) Для четырехугольника со сторонами 6, 8, 7 и 15:

\(s = \frac{{6 + 8 + 7 + 15}}{2} = 18\)

\((18 - 6)(18 - 8)(18 - 7)(18 - 15) = (12)(10)(11)(3) = 3960\)

\(6 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 15 = 5040\)

3960 ≠ 5040

Таким образом, четырехугольник с такими сторонами не может быть окружностью.

б) Для четырехугольника со сторонами 12, 19, 20 и 14:

\(s = \frac{{12 + 19 + 20 + 14}}{2} = 32.5\)

\((32.5 - 12)(32.5 - 19)(32.5 - 20)(32.5 - 14) = (20.5)(13.5)(12.5)(18.5) = 79968.125\)

\(12 \cdot 19 \cdot 20 \cdot 14 = 63840\)

79968.125 ≠ 63840

Следовательно, четырехугольник с такими сторонами также не может быть окружностью.

в) Для четырехугольника со сторонами 21, 13, 14 и 20:

\(s = \frac{{21 + 13 + 14 + 20}}{2} = 34\)

\((34 - 21)(34 - 13)(34 - 14)(34 - 20) = (13)(21)(20)(14) = 76440\)

\(21 \cdot 13 \cdot 14 \cdot 20 = 76440\)

76440 = 76440

Таким образом, четырехугольник со сторонами 21, 13, 14 и 20 может быть окружностью.

Итак, только четырехугольник со сторонами 21, 13, 14 и 20 может быть окружностью.