Могут ли одновременно существовать равенства: tg альфа =((корень из 7)/3) и sin альфа= (3/4) (с решением)?

Barsik

57

Да, конечно! Давайте решим данную задачу.

Мы имеем два уравнения:
\[ \tan{\alpha} = \frac{\sqrt{7}}{3} \]
\[ \sin{\alpha} = \frac{3}{4} \]

Для начала, давайте рассмотрим первое уравнение. Мы знаем, что тангенс угла равен отношению противоположной и прилежащей сторон треугольника. В данном случае, чтобы найти такой треугольник, у которого тангенс равен \(\frac{\sqrt{7}}{3}\), мы должны найти противоположную и прилежащую стороны.

Обозначим противоположную сторону как \(a\) и прилежащую сторону как \(b\). Тогда тангенс угла \(\alpha\) можно записать как \(\frac{a}{b}\). Учитывая данное значение \(\frac{\sqrt{7}}{3}\), мы имеем следующее:

\[ \frac{\sqrt{7}}{3} = \frac{a}{b} \]

Теперь, чтобы решить эту пропорцию, умножим обе стороны на \(3b\):

\[ \sqrt{7} = 3a \]

Затем возводим обе стороны в квадрат:

\[ 7 = 9a^2 \]

И делим обе стороны на 9:

\[ \frac{7}{9} = a^2 \]

Для получения значения \(a\) возьмем квадратный корень из обеих сторон:

\[ \frac{\sqrt{7}}{3} = a \]

Теперь, когда мы знаем значение \(a\), мы можем найти значение \(b\). Подставим значение \(a\) в исходное уравнение:

\[ \tan{\alpha} = \frac{\sqrt{7}}{3} = \frac{a}{b} \]

\[ \frac{\sqrt{7}}{3} = \frac{\frac{\sqrt{7}}{3}}{b} \]

\[ b = 1 \]

Таким образом, мы получили, что противоположная сторона (\(a\)) равна \(\frac{\sqrt{7}}{3}\), а прилежащая сторона (\(b\)) равна 1.

Теперь, давайте рассмотрим второе уравнение, которое говорит, что синус угла \(\alpha\) равен \(\frac{3}{4}\). Синус угла также можно представить как отношение противоположной стороны к гипотенузе треугольника.

Исходя из заданного значения \(\frac{3}{4}\), обозначим противоположную сторону как \(c\) и гипотенузу как \(d\). Тогда синус угла \(\alpha\) можно записать как \(\frac{c}{d}\).

Таким образом, у нас имеется:

\[ \frac{3}{4} = \frac{c}{d} \]

Но мы уже знаем, что противоположная сторона (\(c\)) равна \(\frac{\sqrt{7}}{3}\), а прилежащая сторона (\(d\)) равна 1. Таким образом, мы можем записать:

\[ \frac{3}{4} = \frac{\frac{\sqrt{7}}{3}}{1} \]

Но здесь у нас возникает противоречие, так как у нас два различных результата. Поэтому мы можем сделать вывод, что данные уравнения не могут существовать одновременно.

Таким образом, ответ на задачу - нет, нельзя одновременно существовать равенства \(\tan{\alpha} = \frac{\sqrt{7}}{3}\) и \(\sin{\alpha} = \frac{3}{4}\).