На диаграмме показан график уравнения y=x2+ax+b. Известно, что точки A и B равноудалены от начала координат. Определите

Murlyka

66

Для решения данной задачи нам понадобится использовать некоторые свойства параболы и графика функции \(y=x^2+ax+b\), а также знание формулы расстояния между двумя точками на плоскости.

Итак, у нас есть график уравнения \(y=x^2+ax+b\), и нам известно, что точки A и B равноудалены от начала координат. Это означает, что расстояние от начала координат до точки A равно расстоянию от начала координат до точки B.

Чтобы найти длину отрезка AB, нам нужно найти координаты точек A и B. Мы знаем, что обе точки равноудалены от начала координат, поэтому координаты x A и x B будут одинаковыми. Denote the common x-coordinate as \(x_0\).

Теперь, подставляя \(x_0\) в уравнение параболы \(y=x^2+ax+b\), мы можем найти соответствующие координаты y A и y B:

\[y_0 = x_0^2 + ax_0 + b\]

Таким образом, координаты точек A и B являются \((x_0, y_0)\) и \((x_0, y_0)\) соответственно.

У нас есть две точки A и B с одинаковыми координатами x, а значит, отрезок AB будет горизонтальной линией, параллельной оси x.

Длина отрезка AB будет равна разности координат y A и y B:

\[AB = |y_A - y_B|\]

Подставляя значения координат y A и y B, получаем:

\[AB = |(x_0^2 + ax_0 + b) - (x_0^2 + ax_0 + b)|\]

Упрощая это выражение, мы получаем:

\[AB = 0\]

Таким образом, длина отрезка AB равна нулю. Это означает, что точки A и B совпадают и образуют одну точку на графике уравнения \(y=x^2+ax+b\).

Обоснование: Задача говорит нам, что точки A и B равноудалены от начала координат, поэтому они будут иметь одинаковые координаты x и будут лежать на одной вертикальной линии. Исключая случай, когда это точка экстремума параболы, оставляется только одна возможная ситуация – точки совпадают на графике и образуют одну единственную точку.

Таким образом, длина отрезка AB равна нулю, что означает, что отрезок AB состоит из единственной точки A (или B), совпадающей с началом координат.

Итак, ответ на задачу: длина отрезка AB равна нулю.