На доске есть 27 разных целых чисел. Они все либо возведены в квадрат, либо в куб и записаны вместо исходных чисел

Suzi

66

Чтобы решить эту задачу, мы можем представить исходные числа в виде двоичных разрядов. Когда мы возведем число в квадрат, двоичный разряд увеличится вдвое, а когда число возводится в куб, двоичный разряд утроится. Наша цель - минимизировать количество различных чисел.

Мы можем представить числа от 1 до 27 в двоичной системе счисления от \(00000\) до \(11010\) (поскольку \(27 = 1 \times 2^4 + 1 \times 2^3 + 1 \times 2^1\)). Переберем различные комбинации возведения в квадрат или куб и посмотрим, сколько различных чисел мы можем получить.

Если мы возведем число в куб, у нас есть 3 различных варианта: \(00000\) (0), \(00100\) (4), \(10000\) (16).
Если мы возведем число в квадрат и в куб, у нас есть 1 различный вариант: \(00001\) (1).
Если мы возведем число только в квадрат, у нас есть 3 различных варианта: \(00010\) (2), \(01000\) (8), \(10010\) (18).
Если мы не возведем число ни в квадрат, ни в куб, у нас есть 1 различный вариант: \(00011\) (3).

Общее количество различных чисел: \(3 + 1 + 3 + 1 = 8\).

Таким образом, минимальное количество различных чисел, которое могло оказаться на доске, равно 8.