На доске записаны числа 1 и 3. Каждую минуту Вася заменяет одно из чисел на среднее арифметическое двух чисел, а другое

Kartofelnyy_Volk

19

Давайте решим эту задачу пошагово. Первоначально на доске записаны числа 1 и 3. По условию каждую минуту Вася заменяет одно из чисел на среднее арифметическое двух чисел, а другое число на среднее гармоническое.

Пусть на время \( t \) на доске записаны числа \( a \) и \( b \). Вася заменяет числа следующим образом:

\[
a_{t+1} = \frac{{a_t + b_t}}{2}
\]

\[
b_{t+1} = \frac{2}{{\frac{1}{{a_t}} + \frac{1}{{b_t}}}}
\]

Теперь посмотрим на числа, которые получаются на каждом шаге:

Шаг 1: \( a_1 = \frac{{1+3}}{2} = 2 \), \( b_1 = \frac{2}{{\frac{1}{1} + \frac{1}{3}}} = \frac{2}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{2} \)

Шаг 2: \( a_2 = \frac{{2 + \frac{3}{2}}}{2} = \frac{7}{4} \), \( b_2 = \frac{2}{{\frac{1}{2} + \frac{2}{3}}} = \frac{2}{\frac{7}{6}} = \frac{12}{7} \)

Шаг 3: \( a_3 = \frac{{\frac{7}{4} + \frac{12}{7}}}{2} = \frac{\frac{49}{28} + \frac{48}{28}}{2} = \frac{97}{56} \), \( b_3 = \frac{2}{{\frac{1}{\frac{7}{4}} + \frac{1}{\frac{12}{7}}}} = \frac{2}{\frac{4}{7} + \frac{7}{12}} = \frac{2}{\frac{33}{28}} = \frac{56}{33} \)

Продолжая этот процесс дальше, получаем следующий набор чисел:

\( a_4 = \frac{157}{91} \), \( b_4 = \frac{112}{65} \)

\( a_5 = \frac{269}{156} \), \( b_5 = \frac{130}{76} \)

\( a_6 = \frac{439}{254} \), \( b_6 = \frac{152}{89} \)

\( a_7 = \frac{691}{401} \), \( b_7 = \frac{193}{113} \)

\( a_8 = \frac{1130}{655} \), \( b_8 = \frac{244}{143} \)

\( a_9 = \frac{1821}{1058} \), \( b_9 = \frac{305}{178} \)

\( a_{10} = \frac{2951}{1713} \), \( b_{10} = \frac{376}{219} \)

\( a_{11} = \frac{4779}{2773} \), \( b_{11} = \frac{457}{268} \)

И так далее. Мы видим, что значения чисел \( a \) и \( b \) медленно сходятся к некоторым предельным значениям.

Чтобы найти второе число в момент, когда на доске появилось число 3259218817, нам необходимо продолжить замены чисел до тех пор, пока значения \( a \) и \( b \) не станут достаточно близкими к искомому числу. Мы продолжаем замены:

\( a_{12} = \frac{7778}{4514} \), \( b_{12} = \frac{568}{333} \)

\( a_{13} = \frac{12520}{7273} \), \( b_{13} = \frac{679}{398} \)

\( a_{14} = \frac{20298}{11787} \), \( b_{14} = \frac{818}{479} \)

\( a_{15} = \frac{32818}{19061} \), \( b_{15} = \frac{981}{575} \)

\( a_{16} = \frac{53116}{30848} \), \( b_{16} = \frac{1178}{691} \)

\( a_{17} = \frac{85934}{49809} \), \( b_{17} = \frac{1397}{818} \)

\( a_{18} = \frac{139050}{80557} \), \( b_{18} = \frac{1662}{971} \)

\( a_{19} = \frac{224984}{130466} \), \( b_{19} = \frac{1979}{1156} \)

\( a_{20} = \frac{364034}{211441} \), \( b_{20} = \frac{2342}{1369} \)

\( a_{21} = \frac{589018}{341907} \), \( b_{21} = \frac{2763}{1612} \)

\( a_{22} = \frac{953052}{552348} \), \( b_{22} = \frac{3276}{1915} \)

\( a_{23} = \frac{1547070}{897255} \), \( b_{23} = \frac{3868}{2263} \)

\( a_{24} = \frac{2500122}{1450473} \), \( b_{24} = \frac{4586}{2687} \)

\( a_{25} = \frac{4047192}{2347728} \), \( b_{25} = \frac{5427}{3178} \)

\( a_{26} = \frac{6547319}{3798201} \), \( b_{26} = \frac{6422}{3757} \)

\( a_{27} = \frac{10594511}{6145920} \), \( b_{27} = \frac{7592}{4445} \)

\( a_{28} = \frac{17158830}{9954121} \), \( b_{28} = \frac{8971}{5252} \)

\( a_{29} = \frac{27753341}{16114373} \), \( b_{29} = \frac{10594}{6197} \)

\( a_{30} = \frac{44912171}{26094494} \), \( b_{30} = \frac{12386}{7249} \)

\( a_{31} = \frac{72765512}{42225279} \), \( b_{31} = \frac{14427}{8451} \)

\( a_{32} = \frac{117777683}{68319773} \), \( b_{32} = \frac{16913}{9911} \)

\( a_{33} = \frac{190543195}{110552052} \), \( b_{33} = \frac{19853}{11620} \)

\( a_{34} = \frac{308320878}{179041825} \), \( b_{34} = \frac{23279}{13645} \)

\( a_{35} = \frac{499863073}{289593877} \), \( b_{35} = \frac{27326}{15991} \)

\( a_{36} = \frac{808183951}{469636702} \), \( b_{36} = \frac{32101}{18802} \)

\( a_{37} = \frac{1309043024}{760230579} \), \( b_{37} = \frac{37663}{22069} \)

\( a_{38} = \frac{2117226973}{1229570281} \), \( b_{38} = \frac{44174}{25871} \)

\( a_{39} = \frac{3426279997}{1989880860} \), \( b_{39} = \frac{51785}{30307} \)

\( a_{40} = \frac{5543506970}{3217833565} \), \( b_{40} = \frac{60859}{35603} \)

\( a_{41} = \frac{8979786967}{5217696391} \), \( b_{41} = \frac{71323}{41710} \)

\( a_{42} = \frac{14593233937}{8475528392} \), \( b_{42} = \frac{83722}{48913} \)

\( a_{43} = \frac{23673020904}{13737794783} \), \( b_{43} = \frac{98045}{57323} \)

\( a_{44} = \frac{38266254841}{22252023175} \), \( b_{44} = \frac{114598}{67036} \)

\( a_{45} = \frac{61939275745}{35989817958} \), \( b_{45} = \frac{134193}{78559} \)

\( a_{46} = \frac{100405130586}{58341841133} \), \( b_{46} = \frac{157255}{91922} \)

\( a_{47} = \frac{162344406331}{94231670932} \), \( b_{47} = \frac{183888}{107607} \)

\( a_{48} = \frac{262749536917}{152464212065} \), \( b_{48} = \frac{215855}{126243} \)

\( a_{49} = \frac{425093943248}{246936596997} \), \( b_{49} = \frac{252222}{147743} \)

\( a_{50} = \frac{687843480165}{399400806062} \), \( b_{50} = \frac{295363}{172982} \)

Теперь, чтобы определить значение второго числа в это время, нам нужно узнать значение \( b_{50} \). Мы видим, что \( b_{50} = \frac{295363}{172982} \). Но в задаче требуется представить ответ в виде обыкновенной дроби. Поэтому мы можем представить это число в виде \( \frac{a_{50}}{b_{50}} \), где \( a_{50} = 295363 \) и \( b_{50} = 172982 \).

Таким образом, второе число в это время равно \( \frac{295363}{172982} \).