На каком минимальном расстоянии от экрана нужно поместить теннисный шарик диаметром 40 мм, чтобы он не создавал тень

Леонид

5

Чтобы понять, на каком минимальном расстоянии от экрана нужно поместить теннисный шарик, чтобы он создавал только полутень, необходимо учесть размеры шарика и лампы, а также рассмотреть световые лучи, идущие от лампы и попадающие на экран.

Поскольку лампа имеет форму шара, она будет излучать свет во все стороны. Освещенность на экране определяется интенсивностью света, падающего на единицу площади экрана. Если свет проходит без препятствий, то на экране создается световое пятно.

С теннисным шариком, помещенным между лампой и экраном, ситуация немного меняется. Если шарик находится на расстоянии, достаточно большом, чтобы его размер был меньше размера тени, создаваемой лампой, то на экране будет видно только полутень от шарика.

Давайте проанализируем данную задачу.

Расстояние от лампы до экрана равно 1 метру (100 см). Диаметр шара составляет 40 мм. Диаметр лампы равен 6 см. Нам необходимо определить, на каком расстоянии от экрана нужно разместить шарик, чтобы он создавал только полутень на экране.

Шарик создаст полутень, если его размер будет совпадать с размером тени, создаваемой лампой. Поэтому, чтобы найти минимальное расстояние, мы должны рассмотреть равенство между диаметром тени лампы и диаметром шарика.

Диаметр тени, создаваемой лампой, можно найти, используя геометрические соображения. Рассмотрим треугольник, образованный центром лампы, точкой на экране (там, где возникнет тень), и краем тени.

По теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы (расстояние от лампы до точки на экране, где возникает тень) равен сумме квадратов катетов (половина диаметра лампы и половина диаметра тени). Поэтому, складывая квадраты радиусов лампы и тени, мы сможем найти квадрат расстояния от лампы до точки на экране, где проектируется тень.

\[
(\text{{радиус лампы}})^2 + (\text{{радиус тени}})^2 = \text{{расстояние от лампы до точки на экране}}^2
\]

Подставим значения в формулу и найдем значение расстояния.

\[
(3 \, \text{{см}})^2 + (3 \, \text{{см}})^2 = \text{{расстояние от лампы до точки на экране}}^2
\]

\[
9 \, \text{{см}}^2 + 9 \, \text{{см}}^2 = \text{{расстояние от лампы до точки на экране}}^2
\]

\[
18 \, \text{{см}}^2 = \text{{расстояние от лампы до точки на экране}}^2
\]

\[
\text{{расстояние от лампы до точки на экране}} = \sqrt{18 \, \text{{см}}^2}
\]

\[
\text{{расстояние от лампы до точки на экране}} \approx 4,24 \, \text{{см}}
\]

Таким образом, для того чтобы теннисный шарик создавал только полутень на экране, его необходимо поместить на расстоянии около 4,24 см от экрана.