На каком удалении от центра меньшего шара находится центр масс системы, состоящей из пяти шаров с массами `m`, `2m`

Елисей_5695

24

Для решения этой задачи нам понадобятся два факта: центр масс системы точек находится на пересечении всех осей симметрии системы и центр масс системы точек вычисляется как средневзвешенное положение центров масс каждой отдельной точки.

Давайте начнем с вычисления положения центра масс каждого отдельного шара. Для нахождения центра масс шара, мы можем использовать формулу \(x = \frac{m_1x_1 + m_2x_2}{m_1 + m_2}\), где \(x\) - координата центра масс, а \(m_1\) и \(m_2\) - массы двух шаров.

Допустим, что центр меньшего шара находится в начале координат (x=0). Тогда положение центра масс меньшего шара будет равно \(x_1 = 0\cdot m = 0\).

Для второго шара с массой \(2m\) его центр находится на расстоянии \(l\) от центра меньшего шара. Таким образом, положение центра масс второго шара будет \(x_2 = l\cdot 2m = 2ml\).

Аналогичным образом можем найти положения центров масс третьего, четвертого и пятого шаров:

Для третьего шара: \(x_3 = l\cdot 3m = 3ml\)

Для четвертого шара: \(x_4 = l\cdot 4m = 4ml\)

Для пятого шара: \(x_5 = l\cdot 5m = 5ml\)

Теперь мы можем вычислить положение центра масс всей системы, используя формулу средневзвешенного значений центра масс каждого шара.

Для этого нужно просуммировать произведения масс каждого шара на его положение центра масс, а затем разделить на общую массу всей системы:

\[x_{\text{цм}} = \frac{m_1x_1 + m_2x_2 + m_3x_3 + m_4x_4 + m_5x_5}{m_1 + m_2 + m_3 + m_4 + m_5 + m_{\text{стержень}}}\]

где \(m_{\text{стержень}}\) - масса стержня.

Система состоит из пяти шаров массами \(m\), \(2m\), \(3m\), \(4m\) и \(5m\) и стержня массой \(3m\). Общая масса всей системы равна \(m_1 + m_2 + m_3 + m_4 + m_5 + m_{\text{стержень}} = m + 2m + 3m + 4m + 5m + 3m = 18m\).

Подставляя значения положений центров масс и общей массы системы в формулу, получаем:

\[x_{\text{цм}} = \frac{0\cdot m +2ml + 3ml + 4ml + 5ml}{18m} = \frac{14ml}{18m} = \frac{7l}{9}\]

Таким образом, центр масс системы, состоящей из пяти шаров, находится на расстоянии \(\frac{7l}{9}\) от центра меньшего шара.