На какой скорости ящик тащат вверх по наклонной плоскости? И в какой системе отсчета сила связана с этой плоскостью?

Чернышка

26

Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся знания из раздела механики и силы трения. Предварительно определим некоторые физические величины:

\(F_{\text{тяж}}\) - сила тяжести, действующая на ящик.
\(m\) - масса ящика.
\(g\) - ускорение свободного падения (приближенно равно 9,8 м/с² на поверхности Земли).
\(F_{\text{тр}}\) - сила трения, возникающая между ящиком и плоскостью.
\(\alpha\) - угол наклона плоскости.

Сначала разберемся, как связаны силы и ускорение ящика на наклонной плоскости.

Изобразив силы, действующие на ящик, мы увидим, что сила тяжести \(F_{\text{тяж}}\) направлена вертикально вниз, а сила трения \(F_{\text{тр}}\) направлена вдоль плоскости и препятствует скольжению ящика.

\[
\begin{{align*}}
F_{\text{тр}} & = m \cdot g \cdot \sin(\alpha) \\
F_{\text{тяж}} & = m \cdot g \cdot \cos(\alpha) \\
\end{{align*}}
\]

Таким образом, сила трения \(F_{\text{тр}}\) зависит от угла наклона плоскости \(\alpha\). Она пропорциональна величине \(m \cdot g \cdot \sin(\alpha)\), где \(m\) - масса ящика, \(g\) - ускорение свободного падения, а \(\sin(\alpha)\) - синус угла наклона плоскости.

Для определения скорости, с которой ящик тащат вверх по наклонной плоскости, воспользуемся основным законом динамики: сумма сил, действующих на тело, равна произведению массы тела на его ускорение.

\[
\sum F_{\text{по горизонтали}} = F_{\text{тр}} = m \cdot a
\]

В данном случае силой, действующей только по горизонтали, является сила трения \(F_{\text{тр}}\). С учетом ранее полученного соотношения для \(F_{\text{тр}}\), получим:

\[
m \cdot g \cdot \sin(\alpha) = m \cdot a
\]

Масса \(m\) сокращается, и мы получаем выражение для ускорения \(a\):

\[
a = g \cdot \sin(\alpha)
\]

Теперь, чтобы найти скорость \(v\) на наклонной плоскости, мы можем воспользоваться уравнением движения:

\[
v^2 = u^2 + 2 \cdot a \cdot s
\]

где \(u\) - начальная скорость (обычно равна 0), \(s\) - путь, пройденный ящиком.

Поскольку ящик тащат только вверх по наклонной плоскости без начальной скорости (\(u = 0\)), уравнение упрощается:

\[
v^2 = 2 \cdot a \cdot s
\]

Заменив \(a\) выражением \(g \cdot \sin(\alpha)\), получим:

\[
v^2 = 2 \cdot g \cdot \sin(\alpha) \cdot s
\]

Теперь остается найти значение скорости \(v\). Для этого нам необходимо знать путь \(s\), пройденный ящиком. Если мы знаем путь, можно вычислить скорость, взяв квадратный корень из обеих частей уравнения:

\[
v = \sqrt{2 \cdot g \cdot \sin(\alpha) \cdot s}
\]

Ответ на задачу будет зависеть от пути, который пройдет ящик, а также от угла наклона плоскости \(\alpha\).

Что касается второй части задачи — системы отсчета, связанной с плоскостью, то мы можем выбрать такую систему отсчета, в которой ось \(x\) будет параллельна плоскости. В этой системе сила трения \(F_{\text{тр}}\) будет полностью покоиться на оси \(x\), что облегчит решение задачи. Ось \(y\) будет перпендикулярна плоскости и направлена противоположно силе тяжести \(F_{\text{тяж}}\). Таким образом, в этой системе сила будет тесно связана с плоскостью.