На основе доступной информации, продемонстрируйте, что первая космическая скорость составляет приблизительно

Evgenyevich

23

Первая космическая скорость – это минимальная скорость, необходимая для выхода на орбиту вокруг Земли. Чтобы продемонстрировать это, давайте рассмотрим некоторую информацию о Земле и используем основные физические законы.

Для начала, давайте вспомним, что спутники Земли движутся по орбите вокруг нашей планеты. Чтобы попасть на орбиту, спутнику необходимо преодолеть силу притяжения Земли и иметь достаточную скорость, чтобы не падать обратно на поверхность Земли. Эта скорость называется первой космической скоростью.

Предположим, что наша планета – сфера с радиусом \(R\), массой \(M\) и гравитационной постоянной \(G\). Тогда для того, чтобы найти первую космическую скорость, мы можем использовать закон всемирного тяготения:

\[
F = \frac{{GMm}}{{r^2}}
\]

где \(F\) – сила притяжения между двумя телами массами \(M\) и \(m\) на расстоянии \(r\).

Если спутник находится на поверхности Земли, расстояние \(r\) будет равно радиусу Земли (\(R\)), и сила притяжения будет равна весу спутника. Эту силу можно представить как:

\[
F = mg
\]

где \(m\) – масса спутника, а \(g\) – ускорение свободного падения на поверхности Земли.

Теперь мы можем приравнять эти две силы и найти скорость, которую спутнику необходимо иметь для выхода на орбиту. Пусть \(v\) – искомая скорость.

\[
mg = \frac{{GMm}}{{R^2}}
\]

m и одна m сокращаются:

\[
g = \frac{{GM}}{{R^2}}
\]

Теперь найдем скорость \(v\):

\[
v = \sqrt{{\frac{{GM}}{{R}}}}
\]

Немного пофакторизуем выражение:

\[
v = \sqrt{{\frac{{GM}}{{R}}}} = \sqrt{{\frac{{GM}}{{R}}}} \cdot \sqrt{{\frac{{R}}{{R}}}} = \sqrt{{\frac{{GM}}{{R}}}} \cdot \sqrt{{1}}
\]

Вспомним, что радиус Земли \(R\) примерно равен 6371 километру, а гравитационная постоянная \(G\) равна \(6,673 \cdot 10^{-11} \, \text{м}^3/(\text{кг} \cdot \text{с}^2)\), а масса Земли \(M\) примерно равна \(5,972 \cdot 10^{24} \, \text{кг}\). Подставим значения в формулу и вычислим результат:

\[
v = \sqrt{{\frac{{(6,673 \cdot 10^{-11} \, \text{м}^3/(\text{кг} \cdot \text{с}^2)) \cdot (5,972 \cdot 10^{24} \, \text{кг})}}{{6371 \cdot 10^3 \, \text{м}}}}}
\]

Сделаем несколько математических преобразований и упростим выражение:

\[
v \approx 7,91 \, \text{км/с}
\]

Таким образом, первая космическая скорость примерно равна 7,91 километров в секунду. Это означает, что для выхода на орбиту вокруг Земли спутнику необходима скорость, равная или выше этой величины.