На основе квадратной призмы со стороной 6 см образуется угол 30 градусов с плоскостью основания. Найдите следующие

Vintik

13

Решение:

Для начала, давайте разберемся с формулой для диагонали основания призмы. Для квадратной призмы, диагональ основания \(d_1\) вычисляется по формуле:

\[d_1 = a \sqrt{2}\]

Где \(a\) - длина стороны квадрата, в нашем случае \(a = 6 \, \text{см}\).

Подставим значение:

\[d_1 = 6 \, \text{см} \cdot \sqrt{2} \approx 8.49 \, \text{см}\]

Теперь рассмотрим диагональ призмы \(d_2\). Она может быть найдена с использованием формулы Пифагора для правильной треугольной призмы:

\[d_2 = \sqrt{h^2 + d_1^2}\]

Где \(h\) - высота призмы. Мы найдем высоту призмы позже, поэтому запишем решение в формуле без подстановки численного значения.

Теперь перейдем к вычислению высоты призмы. Мы знаем, что угол между плоскостью основания и продолжением боковой грани составляет 30 градусов. Такой угол можно разбить на прямоугольный треугольник, в котором катетом будет \(h\) (высота призмы), а гипотенуза - \(d_1\). Используя тригонометрию, можем найти высоту призмы:

\[\tan 30^\circ = \frac{h}{d_1}\]

\[\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{d_1}\]

\[h = \frac{d_1}{\sqrt{3}}\]

Теперь подставим значение для \(d_1\):

\[h = \frac{8.49 \, \text{см}}{\sqrt{3}} \approx 4.9 \, \text{см}\]

Теперь посчитаем площадь боковых граней призмы. Для квадратной призмы, площадь боковых граней \(A_{\text{бок}}\) вычисляется по формуле:

\[A_{\text{бок}} = 4 \cdot a \cdot h\]

Где \(a\) - длина стороны квадрата (в нашем случае \(a = 6 \, \text{см}\)), а \(h\) - высота призмы (в нашем случае \(h = 4.9 \, \text{см}\)).

Подставим значения:

\[A_{\text{бок}} = 4 \cdot 6 \, \text{см} \cdot 4.9 \, \text{см} = 117.6 \, \text{см}^2\]

Теперь найдем площадь всей поверхности призмы \(A_{\text{пов}}\). Для квадратной призмы, площадь всей поверхности \(A_{\text{пов}}\) можно найти по формуле:

\[A_{\text{пов}} = 2 \cdot a^2 + 4 \cdot a \cdot h\]

Подставим значения:

\[A_{\text{пов}} = 2 \cdot 6 \, \text{см}^2 + 4 \cdot 6 \, \text{см} \cdot 4.9 \, \text{см} = 159.6 \, \text{см}^2\]

Наконец, найдем объем призмы \(V\). Для квадратной призмы, объем \(V\) можно вычислить, умножив площадь основания на высоту:

\[V = a^2 \cdot h\]

Подставим значения:

\[V = 6 \, \text{см}^2 \cdot 4.9 \, \text{см} = 29.4 \, \text{см}^3\]

Итак, ответы на задачу:

Диагональ основания призмы: \(d_1 = 8.49 \, \text{см}\)
Диагональ призмы: \(d_2\) (решение без численного значения)
Высота призмы: \(h = 4.9 \, \text{см}\)
Площадь боковых граней призмы: \(A_{\text{бок}} = 117.6 \, \text{см}^2\)
Площадь всей поверхности призмы: \(A_{\text{пов}} = 159.6 \, \text{см}^2\)
Объем призмы: \(V = 29.4 \, \text{см}^3\)