На острове, где есть круглое озеро в центре, есть 4 связанные страны, каждая из которых имеет выход к морю и озеру
На острове, где есть круглое озеро в центре, есть 4 связанные страны, каждая из которых имеет выход к морю и озеру. Сколько возможных вариантов окраски карты острова существует, учитывая 7 доступных цветов? Граничащие страны не могут быть окрашены одним и тем же цветом. Страна считается связанной, если можно попасть из любой точки этой страны в любую другую точку страны, не покидая ее границы.
Поющий_Хомяк 21
Чтобы найти количество возможных вариантов окраски карты острова, нам потребуется применить принцип Дирихле.Исходя из условия задачи, у нас есть 4 страны, каждая из которых имеет выход к морю и озеру. Задачу можно свести к окраске графа, где вершины представляют страны, а рёбра - границы между странами.
Для начала рассмотрим случай, когда у нас есть только 2 страны. Представим, что эти две страны имеют выход только к морю (изображённому, к примеру, сверху и снизу карты). В этом случае, у нас есть всего 7 возможных вариантов окраски карты. Теперь добавим озеро в центр карты.
Каждая из этих двух стран также имеет выход к озеру. Предположим, что мы окрасили первую страну в один из 7 цветов. У нас остаётся 6 доступных цветов для окраски второй страны. Первой страны можно окрасить 7 различными способами, и для каждого из этих 7 способов, вторую страну можно окрасить 6 различными способами.
Таким образом, для каждого из 7 возможных вариантов окраски первой страны, у нас есть 6 возможных вариантов окраски второй страны. Таким образом, всего существует \(7 \cdot 6 = 42\) различных комбинаций окраски двух стран.
Можно применить такое же рассуждение для третьей страны. У нас есть 6 различных комбинаций окраски для каждой из двух предыдущих стран, и для каждой из этих 6 комбинаций, мы можем окрасить третью страну 6 различными способами. Таким образом, для трех стран у нас будет \(7 \cdot 6 \cdot 6 = 252\) различных комбинаций окраски.
Наконец, применим рассуждение к четвертой стране. Теперь у нас есть 6 комбинаций окраски для каждой из трех предыдущих стран, и для каждой из этих 6 комбинаций, мы можем окрасить четвертую страну 6 различными способами. Таким образом, для всех четырех стран у нас будет \(7 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = 1512\) различных комбинаций окраски.
Таким образом, исходя из условий задачи, учитывая 7 доступных цветов, существует 1512 возможных вариантов окраски карты острова.