На противоположной стороне параллелограмма ABCD выбрали точку A1 так, что DA1 равно 4 см. Плоскость, которая

Vasilisa

39

Давайте решим данную задачу.

а) Для доказательства подобия треугольников C₁DA₁ и ACB, нам необходимо установить, что их углы равны. Поскольку плоскость, проходящая через точку A₁, параллельна диагонали AC, то угол DAC равен углу DA₁C₁. Это следует из свойства параллельных прямых, которое гласит, что при пересечении двух параллельных прямых с третьей прямой соответствующие углы равны.

Таким образом, у нас есть два равных угла: угол DAC и угол DA₁C₁.

Для дальнейшего доказательства подобия треугольников, нам необходимо установить, что соответствующие стороны пропорциональны.

Обратим внимание, что DA₁ = 4 см и AB = 10 см. Так как параллелограмм ABCD является фигурой со сторонами, параллельными друг другу, то AD также равна 10 см.

Теперь рассмотрим треугольники C₁DA₁ и ACB. У нас есть:

\[\frac{DA₁}{AB} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}\]

Аналогично, у нас имеется:

\[\frac{C₁A₁}{AC} = \frac{C₁D}{AB}\]

Мы знаем, что C₁A₁ равно A₁D, так как они являются сторонами параллелограмма. Следовательно, у нас получается:

\[\frac{A₁D}{AC} = \frac{4}{AB} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}\]

Таким образом, мы получили, что две пары сторон треугольников C₁DA₁ и ACB пропорциональны. Исходя из этого, мы можем сделать вывод, что треугольники C₁DA₁ и ACB подобны.

б) Нам дано, что AB равно 10 см и A₁C₁ равно \(x\) см. Мы должны найти длину AC.

Так как треугольники C₁DA₁ и ACB подобны, мы можем использовать пропорцию:

\[\frac{A₁D}{AC} = \frac{C₁A₁}{AB}\]

Подставляя известные значения:

\[\frac{4}{AC} = \frac{x}{10}\]

Теперь мы можем решить пропорцию относительно AC:

\[4 \cdot 10 = x \cdot AC\]

\[40 = x \cdot AC\]

Далее, делим обе стороны уравнения на \(x\) для изолирования AC:

\[AC = \frac{40}{x}\]

Таким образом, длина AC равна \(\frac{40}{x}\) см.