На рисунке 129, есть две окружности с общим центром О. К малой окружности мы провели перпендикулярные касательные

Сквозь_Волны

21

Мы провели перпендикулярные касательные \(AB\) и \(CD\) к малой окружности, которые пересекаются в точке \(E\). Чтобы решить эту задачу, давайте рассмотрим некоторые свойства окружностей и касательных.

1. Свойство касательной: Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.
В нашем случае, радиус окружности с центром в \(O\) будет перпендикулярен касательной \(AB\) в точке \(A\), а также перпендикулярен касательной \(CD\) в точке \(C\).

2. Свойство перпендикулярных прямых: Если две прямые перпендикулярны к одной и той же прямой, они параллельны между собой.
Так как \(AB\) перпендикулярна радиусу окружности в точке \(A\) и \(CD\) перпендикулярна радиусу окружности в точке \(C\), то касательные \(AB\) и \(CD\) параллельны между собой.

3. Свойство параллельных прямых и пересекающихся прямых: Если две прямых параллельны, а третья прямая пересекает их, то соответственные углы равны.
В нашем случае, касательные \(AB\) и \(CD\) параллельны, и они пересекаются в точке \(E\). Следовательно, угол \(AEO\) равен углу \(CEO\).

4. Свойство центральных углов: Угол, образованный хордой и радиусом, исходящим из одной и той же точки на окружности, равен половине угла пересечения хорды.
Рассмотрим угол \(AEO\). Маячок радиуса окружности, исходящий из точки \(O\), делится хордой \(AE\) на два равных угла. Пусть каждый из этих углов будет равен \(x\). Тогда угол \(AEO\) равен \(2x\).

Теперь мы можем приступить к решению задачи.

1. Угол \(AEO = 2x\) (свойство центральных углов).
2. Угол \(AEO = CEO\) (свойство перпендикулярных прямых).
3. Значит, \(CEO = 2x\).
4. Из треугольника \(CEO\) мы знаем, что сумма углов треугольника равна \(180^\circ\).
\[CEO + CEO + CEO = 180^\circ\]
\[3CEO = 180^\circ\]
\[CEO = \frac{{180^\circ}}{{3}} = 60^\circ\]
5. Угол \(AEO = 2x\) (из пункта 1).
\[AEO = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ\]

Таким образом, углы \(AEO\) и \(CEO\) равны соответственно \(120^\circ\) и \(60^\circ\).