На сколько больше площадь круга, охватывающего правильный треугольник, по сравнению с площадью круга, вписанного в этот

Ledyanoy_Ogon

42

Чтобы решить эту задачу, нам нужно сначала определить формулы для нахождения площади описанного и вписанного в правильный треугольник кругов.

Площадь круга можно вычислить по формуле \(S = \pi r^2\), где \(S\) - площадь, а \(r\) - радиус круга.

Чтобы найти радиус описанного круга (радиус, проходящий через вершины треугольника), мы можем использовать следующую формулу: \(r_{\text{описанный}} = \frac{a}{2 \sqrt{3}}\), где \(a\) - длина стороны правильного треугольника.

А для нахождения радиуса вписанного круга (касающегося всех сторон треугольника), мы можем использовать формулу: \(r_{\text{вписанный}} = \frac{a}{2 \sqrt{3}}\), где \(a\) - длина стороны правильного треугольника.

Таким образом, площадь описанного круга будет равна \(S_{\text{описанный}} = \pi \left(\frac{a}{2 \sqrt{3}}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{12}\).

А площадь вписанного круга будет равна \(S_{\text{вписанный}} = \pi \left(\frac{a}{2 \sqrt{3}}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{12}\).

Теперь, чтобы найти разницу в площадях, мы вычтем площадь вписанного круга из площади описанного круга:

\[
\Delta S = S_{\text{описанный}} - S_{\text{вписанный}} = \frac{\pi a^2}{12} - \frac{\pi a^2}{12} = 0
\]

Таким образом, площадь круга, охватывающего правильный треугольник, будет равна площади круга, вписанного в правильный треугольник. Разница в площадях будет равна нулю.