На сколько нужно уменьшить диаметр вала диаметром 142 мм, чтобы площадь его поперечного сечения уменьшилась в 1,5 раза?

Фонтан

15

Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся некоторые знания о геометрии и алгебре. Первым шагом необходимо определить площадь поперечного сечения вала с исходным диаметром.

Площадь поперечного сечения круга можно вычислить с помощью следующей формулы:

\[S = \pi r^2\]

Где \(S\) - площадь поперечного сечения, \(\pi\) - математическая константа, приближенно равная 3.14, а \(r\) - радиус круга, в данном случае равный половине диаметра.

Используя данную формулу, мы можем вычислить площадь поперечного сечения исходного вала:

\[S_1 = \pi \left(\frac{142}{2}\right)^2\]

\[S_1 = \pi \cdot 71^2\]

Теперь, чтобы уменьшить площадь поперечного сечения в 1,5 раза, мы должны вычислить новую площадь поперечного сечения. Обозначим новый радиус как \(r_2\) и используем формулу для площади поперечного сечения:

\[S_2 = \pi (r_2)^2\]

Так как площадь поперечного сечения должна уменьшиться в 1,5 раза, мы можем написать следующее уравнение:

\[S_2 = \frac{1}{1.5} \cdot S_1\]

\[S_2 = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot 71^2\]

Теперь нам нужно найти новый радиус \(r_2\) в терминах исходного радиуса \(r_1\). Мы знаем, что радиус связан с диаметром следующим образом:

\[r_1 = \frac{d}{2}\]

\[r_2 = \frac{d - x}{2}\]

где \(d\) - исходный диаметр вала, а \(x\) - величина, на которую мы собираемся уменьшить диаметр.

Подставив эти значения в уравнение для площади поперечного сечения, получим следующее:

\[\frac{2}{3} \cdot \pi \cdot 71^2 = \pi \left(\frac{d - x}{2}\right)^2\]

Далее мы можем решить это уравнение, используя алгебру. Для начала раскроем квадрат в знаменателе:

\[\frac{2}{3} \cdot \pi \cdot 71^2 = \pi \cdot \left(\frac{d^2 - 2dx + x^2}{4}\right)\]

Затем упростим уравнение и сократим коэффициенты:

\[\frac{2}{3} \cdot 71^2 = \frac{(d^2 - 2dx + x^2)}{4}\]

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

\[2 \cdot 71^2 = d^2 - 2dx + x^2\]

Раскроем квадрат слева:

\[2 \cdot 5041 = d^2 - 2dx + x^2\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое можно решить относительно \(x\). Для этого приведем его к стандартному виду:

\[x^2 - 2dx + (d^2 - 2 \cdot 5041) = 0\]

Мы получили квадратное уравнение следующего вида: \(ax^2 + bx + c = 0\), которое можно решить с помощью квадратного корня:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

\[x = \frac{-(-2d) \pm \sqrt{(-2d)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (d^2 - 2 \cdot 5041)}}{2 \cdot 1}\]

\[x = \frac{2d \pm \sqrt{4d^2 - 4(d^2 - 2 \cdot 5041)}}{2}\]

\[x = \frac{2d \pm \sqrt{4d^2 - 4d^2 + 8 \cdot 5041}}{2}\]

\[x = \frac{2d \pm \sqrt{8 \cdot 5041}}{2}\]

\[x = \frac{2d \pm \sqrt{40328}}{2}\]

Теперь мы можем вычислить значения \(x\). Возможно два варианта:

1. \(x = \frac{2d + \sqrt{40328}}{2}\)
2. \(x = \frac{2d - \sqrt{40328}}{2}\)

Окончательный ответ depends on whether we consider the positive or the negative square root. Для получения конкретного answer, необходимо знать точные значение 130 соответствующего диаметра \(d\). Если вам известно значение \(d\), подставьте его в одно из этих выражений, чтобы найти значение \(x\).