Какова длина гипотенузы в прямоугольном треугольнике, вписанном в окружность, если известно, что точка касания делит

Nadezhda

42

Для решения данной задачи воспользуемся знаниями о свойствах прямоугольных треугольников, окружностях и их касательных.

Вначале давайте представим себе вписанный прямоугольный треугольник в окружность. Это означает, что катеты треугольника являются касательными к окружности.

Теперь обратим внимание на информацию, данную в задаче: точка касания делит гипотенузу в отношении 2:3. Пусть гипотенуза имеет длину \(c\), то есть задачу можно переформулировать как "Длина одной из частей гипотенузы равна \(2x\), а второй части - \(3x\)".

Используем теорему Пифагора для нахождения длины гипотенузы прямоугольного треугольника. Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

\[c^2 = a^2 + b^2\]

Где \(a\) и \(b\) - катеты треугольника.

Мы знаем, что катеты являются касательными к окружности, и касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Таким образом, получаем два прямоугольных треугольника, каждый из которых имеет катет равный \(2x\) и \(3x\) соответственно.

Применяя теорему Пифагора для первого треугольника, получаем:

\[(2x)^2 + a^2 = c^2\]

И для второго треугольника:

\[(3x)^2 + b^2 = c^2\]

Теперь объединим эти два уравнения:

\[(2x)^2 + a^2 = (3x)^2 + b^2\]

Раскрываем скобки и упрощаем:

\(4x^2 + a^2 = 9x^2 + b^2\)

Вычитаем \(4x^2\) и переносим все в одну сторону:

\(a^2 - b^2 = 5x^2\)

Далее используем факт, что точка касания делит гипотенузу в отношении 2:3. Поэтому, \(\frac{a}{b} = \frac{2}{3}\).

Подставляем это соотношение в предыдущее уравнение и решаем его относительно x:

\(\left(\frac{2}{3}\right)^2 b^2 - b^2 = 5x^2\)

\(\frac{4}{9} b^2 - b^2 = 5x^2\)

Упрощаем:

\(\frac{b^2}{9} = 5x^2\)

\(\frac{8}{9} b^2 = 10x^2\)

Выражаем x:

\(x^2 = \frac{8}{90} b^2\)

\(x = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{90}} b\)

\(x = \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{10}} b\)

Теперь, зная значение \(x\), можем найти длину гипотенузы \(c\). Подставим найденное значение \(x\) в любое из уравнений и выразим \(c\):

\[c = \sqrt{(2x)^2 + a^2}\]

\[c = \sqrt{\left(2 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{10}} b\right)^2 + a^2}\]

Упрощаем и решаем:

\[c = \sqrt{\frac{8}{90} b^2 + a^2}\]

\[c = \sqrt{\frac{4}{45} b^2 + a^2}\]

Получаем итоговый ответ: длина гипотенузы в прямоугольном треугольнике, вписанном в окружность, будет равна \(\sqrt{\frac{4}{45} b^2 + a^2}\).