На сколько нужно увеличить число витков катушки, чтобы магнитный поток через нее возрос на значение δф=0,1, если

Яхонт

35

Для решения данной задачи, воспользуемся формулой для магнитного потока $\mathrm{\Phi }=B\cdot A\cdot \cos (\alpha )$, где $\mathrm{\Phi }$ - магнитный поток через катушку, $B$ - индукция магнитного поля, $A$ - площадь поперечного сечения катушки, $\alpha$ - угол между вектором магнитной индукции и осью катушки.

Первым делом, найдем магнитный поток через катушку до изменений. Подставим известные значения в формулу:

${\mathrm{\Phi }}_1=b\cdot A\cdot \cos (\alpha )$

где $b=5\text{мтл}$, $\alpha =60°$.

Далее, для определения величины увеличения числа витков катушки, воспользуемся другой формулой, связывающей магнитный поток с числом витков катушки: $\mathrm{\Phi }=n\cdot B\cdot A\cdot \cos (\alpha )$, где $n$ - количество витков катушки.

Подставим новое значение магнитного потока ${\mathrm{\Phi }}_2={\mathrm{\Phi }}_1+\delta \mathrm{\Phi }={\mathrm{\Phi }}_1+0,1$ в эту формулу:

${\mathrm{\Phi }}_2=n\cdot B\cdot A\cdot \cos (\alpha )$

Из этих двух уравнений мы можем выразить отношение между магнитными потоками и количеством витков катушки:

$\frac{{\mathrm{\Phi }}_2}{{\mathrm{\Phi }}_1}=\frac{n_2\cdot B\cdot A\cdot \cos (\alpha )}{n_1\cdot B\cdot A\cdot \cos (\alpha )}$

Площадь поперечного сечения, индукция магнитного поля и угол $\alpha$ остаются неизменными, поэтому можно сократить эти значения:

$\frac{{\mathrm{\Phi }}_2}{{\mathrm{\Phi }}_1}=\frac{n_2}{n_1}$

Теперь остается только выразить разницу между количеством витков:

$\frac{n_2}{n_1}=\frac{{\mathrm{\Phi }}_2}{{\mathrm{\Phi }}_1}$

Подставим значения магнитных потоков ${\mathrm{\Phi }}_2={\mathrm{\Phi }}_1+0,1$, ${\mathrm{\Phi }}_1=b\cdot A\cdot \cos (\alpha )$:

$\frac{n_2}{n_1}=\frac{b\cdot A\cdot \cos (\alpha )+0,1}{b\cdot A\cdot \cos (\alpha )}$

Упростим выражение:

$\frac{n_2}{n_1}=1+\frac{0,1}{b\cdot A\cdot \cos (\alpha )}$

Таким образом, чтобы магнитный поток через катушку увеличился на значение $\delta \mathrm{\Phi }=0,1$, необходимо увеличить число витков катушки на величину:

$\delta n=n_2-n_1=n_1\cdot (1+\frac{0,1}{b\cdot A\cdot \cos (\alpha )})-n_1$

Подставив известные значения: $b=5\text{мтл}$, $A=\pi \cdot r^2=3,14\cdot {20}^2$, $\alpha =60°$, $n_1=30$, получим:

$\delta n=30\cdot (1+\frac{0,1}{5\cdot 3,14\cdot {20}^2\cdot \cos (60°)})-30$

Теперь можем вычислить данное выражение:

$\delta n\approx 30\cdot (1+\frac{0,1}{5\cdot 3,14\cdot {20}^2\cdot 0,5})-30$

$\delta n\approx 0,115$

Таким образом, необходимо увеличить число витков катушки на приблизительно 0,115, чтобы магнитный поток через нее возрос на значение $\delta \mathrm{\Phi }=0,1$ при данных условиях.