На сколько нужно увеличить число витков катушки, чтобы магнитный поток через нее возрос на значение δф=0,1, если

Яхонт

35

Для решения данной задачи, воспользуемся формулой для магнитного потока \(\Phi = B \cdot A \cdot \cos(\alpha)\), где \(\Phi\) - магнитный поток через катушку, \(B\) - индукция магнитного поля, \(A\) - площадь поперечного сечения катушки, \(\alpha\) - угол между вектором магнитной индукции и осью катушки.

Первым делом, найдем магнитный поток через катушку до изменений. Подставим известные значения в формулу:

\(\Phi_1 = b \cdot A \cdot \cos(\alpha)\)

где \(b = 5 \, \text{мтл}\), \(\alpha = 60°\).

Далее, для определения величины увеличения числа витков катушки, воспользуемся другой формулой, связывающей магнитный поток с числом витков катушки: \(\Phi = n \cdot B \cdot A \cdot \cos(\alpha)\), где \(n\) - количество витков катушки.

Подставим новое значение магнитного потока \(\Phi_2 = \Phi_1 + \delta \Phi = \Phi_1 + 0,1\) в эту формулу:

\(\Phi_2 = n \cdot B \cdot A \cdot \cos(\alpha)\)

Из этих двух уравнений мы можем выразить отношение между магнитными потоками и количеством витков катушки:

\(\frac{{\Phi_2}}{{\Phi_1}} = \frac{{n_2 \cdot B \cdot A \cdot \cos(\alpha)}}{{n_1 \cdot B \cdot A \cdot \cos(\alpha)}}\)

Площадь поперечного сечения, индукция магнитного поля и угол \(\alpha\) остаются неизменными, поэтому можно сократить эти значения:

\(\frac{{\Phi_2}}{{\Phi_1}} = \frac{{n_2}}{{n_1}}\)

Теперь остается только выразить разницу между количеством витков:

\(\frac{{n_2}}{{n_1}} = \frac{{\Phi_2}}{{\Phi_1}}\)

Подставим значения магнитных потоков \(\Phi_2 = \Phi_1 + 0,1\), \(\Phi_1 = b \cdot A \cdot \cos(\alpha)\):

\(\frac{{n_2}}{{n_1}} = \frac{{b \cdot A \cdot \cos(\alpha) + 0,1}}{{b \cdot A \cdot \cos(\alpha)}}\)

Упростим выражение:

\(\frac{{n_2}}{{n_1}} = 1 + \frac{{0,1}}{{b \cdot A \cdot \cos(\alpha)}}\)

Таким образом, чтобы магнитный поток через катушку увеличился на значение \(\delta \Phi = 0,1\), необходимо увеличить число витков катушки на величину:

\(\delta n = n_2 - n_1 = n_1 \cdot \left(1 + \frac{{0,1}}{{b \cdot A \cdot \cos(\alpha)}}\right) - n_1\)

Подставив известные значения: \(b = 5 \, \text{мтл}\), \(A = \pi \cdot r^2 = 3,14 \cdot 20^2\), \(\alpha = 60°\), \(n_1 = 30\), получим:

\(\delta n = 30 \cdot \left(1 + \frac{{0,1}}{{5 \cdot 3,14 \cdot 20^2 \cdot \cos(60°)}}\right) - 30\)

Теперь можем вычислить данное выражение:

\(\delta n \approx 30 \cdot \left(1 + \frac{{0,1}}{{5 \cdot 3,14 \cdot 20^2 \cdot 0,5}}\right) - 30\)

\(\delta n \approx 0,115\)

Таким образом, необходимо увеличить число витков катушки на приблизительно 0,115, чтобы магнитный поток через нее возрос на значение \(\delta \Phi = 0,1\) при данных условиях.