На сколько разов ярче Кастор (или Близнецы) светятся по сравнению со Солнцем, если их светимость превышает ту Солнца

Зимний_Ветер

6

Для решения этой задачи нам понадобится знание того, что яркость света, излучаемая черным телом, связана с его температурой по формуле Планка-Вайна. Формула имеет вид:

\[ I = \sigma T^4 \]

где \(I\) - яркость излучения, \(\sigma\) - постоянная Стефана-Больцмана, \(T\) - температура в Кельвинах.

В данном случае, нам дана температура Солнца \(T_{\text{Солнца}} = 5800\)K, а также яркость Кастора (или Близнецов) в 25 раз превышает яркость Солнца.

Для того чтобы найти, на сколько разов ярче Кастор (или Близнецы) светятся по сравнению со Солнцем, нам нужно найти отношение их яркостей:

\[ \frac{I_{\text{Кастор}}}{I_{\text{Солнца}}} = \frac{\sigma T_{\text{Кастор}}^4}{\sigma T_{\text{Солнца}}^4} \]

Подставляя известные значения, получаем:

\[ \frac{I_{\text{Кастор}}}{I_{\text{Солнца}}} = \frac{T_{\text{Кастор}}^4}{T_{\text{Солнца}}^4} \]

Теперь нам нужно найти температуру Кастора (или Близнецов), при которой их яркость равна 25 разам яркости Солнца.

\[ \frac{I_{\text{Кастор}}}{I_{\text{Солнца}}} = \frac{\sigma T_{\text{Кастор}}^4}{\sigma T_{\text{Солнца}}^4} = \frac{25}{1} \]

Делим обе части равенства на \(\sigma\) и переходим к 4-му корню, чтобы получить значение температуры Кастора:

\[ \left( \frac{T_{\text{Кастор}}}{T_{\text{Солнца}}} \right)^4 = 25 \]

\[ \frac{T_{\text{Кастор}}}{T_{\text{Солнца}}} = \sqrt[4]{25} \]

\[ T_{\text{Кастор}} = T_{\text{Солнца}} \cdot \sqrt[4]{25} \]

Теперь, если нам дана температура Солнца \(T_{\text{Солнца}} = 5800\)K, мы можем подставить это значение в формулу и решить задачу:

\[ T_{\text{Кастор}} = 5800 \cdot \sqrt[4]{25} \]

\[ T_{\text{Кастор}} \approx 5800 \cdot 1.9345 \]

\[ T_{\text{Кастор}} \approx 11219 \]

Таким образом, температура Кастора (или Близнецов) составляет примерно 11219K. Чтобы узнать, на сколько разов ярче они светятся по сравнению со Солнцем, нам нужно подставить это значение в начальное уравнение:

\[ \frac{I_{\text{Кастор}}}{I_{\text{Солнца}}} = \frac{T_{\text{Кастор}}^4}{T_{\text{Солнца}}^4} = \frac{11219^4}{5800^4} \]

Вычисляя данное выражение, мы получим около 42.3 раза. Таким образом, Кастор (или Близнецы) светятся примерно в 42.3 раза ярче, чем Солнце.