На сколько увеличился период обращения спутника Земли при увеличении его высоты полета сопровождающимся уменьшением

Yahont

44

Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся законы орбитального движения искусственных спутников.

Период обращения спутника Земли определяется формулой:

\[T = 2\pi \sqrt{\dfrac{a^3}{GM}}\]

где \(T\) - период обращения, \(a\) - большая полуось орбиты, \(G\) - гравитационная постоянная, \(M\) - масса Земли.

Для начала найдем период обращения спутника до изменения его высоты полета. Пусть \(a_1\) - начальная большая полуось орбиты, а \(v_1\) - начальная скорость спутника:

\[T_1 = 2\pi \sqrt{\dfrac{a_1^3}{GM}}\]

Затем найдем период обращения спутника после увеличения высоты и уменьшения скорости. Пусть \(a_2\) - новая большая полуось орбиты, а \(v_2\) - новая скорость спутника:

\[T_2 = 2\pi \sqrt{\dfrac{a_2^3}{GM}}\]

Для нахождения разницы между периодами обращения посчитаем \(T_2 - T_1\).

Теперь проанализируем изменения в периоде обращения искусственного спутника Земли в результате увеличения его высоты полета. При увеличении высоты полета спутника, его большая полуось орбиты \(a\) увеличивается. По закону сохранения момента импульса, чтобы сохранить баланс между потенциальной и кинетической энергией, скорость спутника \(v\) должна уменьшаться. Следовательно, при увеличении высоты полета спутника, его период обращения \(T\) увеличивается.

Теперь решим задачу, используя данные из условия. Дано, что исходная скорость спутника составляет 7,79 км/с, а новая скорость - 7,36 км/с. Для удобства расчетов переведем эти скорости в метры в секунду:

\(v_1 = 7,79 \times 10^3\) м/с

\(v_2 = 7,36 \times 10^3\) м/с

Вычислим период обращения до изменений:

\[T_1 = 2\pi \sqrt{\dfrac{a_1^3}{GM}}\]

Аналогично найдем период обращения после изменений:

\[T_2 = 2\pi \sqrt{\dfrac{a_2^3}{GM}}\]

Теперь найдем изменение в периоде обращения:

\[\Delta T = T_2 - T_1\]

Подставим соответствующие значения и проведем вычисления:

\(a_1\) и \(a_2\) в нашем случае остаются одинаковыми, поскольку мы изменяем только высоту полета, не меняя эксцентриситет орбиты.

Используя закон сохранения момента импульса, мы можем установить следующее соотношение:

\[v_1 \times a_1 = v_2 \times a_2\]

Требуется найти \(\Delta T\):

\[\Delta T = T_2 - T_1\]

Так как \(T_1\), \(T_2\) и \(a_1\) одинаковы, \(a_2\) можно найти из уравнения:

\[v_1 \times a_1 = v_2 \times a_2\]

Подставим известные значения:

\(7,79 \times 10^3 \times a_1 = 7,36 \times 10^3 \times a_2\)

Теперь найдем \(\Delta T\):

\begin{align*}
\Delta T &= 2\pi \sqrt{\frac{a_2^3}{GM}} - 2\pi \sqrt{\frac{a_1^3}{GM}} \\
&= 2\pi \sqrt{\dfrac{a_2^3}{GM} - \dfrac{a_1^3}{GM}}
\end{align*}

Подставим значения \(a_1\) и \(a_2\) и проведем вычисления:

\[\Delta T = 2\pi \sqrt{\dfrac{(a_2 - a_1)(a_2^2 + a_1a_2 + a_1^2)}{GM}}\]

Таким образом, мы можем найти значения \(\Delta T\) и проинтерпретировать их как изменения в периоде обращения спутника Земли при увеличении его высоты полета и уменьшении скорости.

Помните, что в этом ответе использовались некоторые предположения и упрощения, и результаты могут быть приближенными. Однако, они должны дать нам общее представление о влиянии изменения высоты полета на период обращения спутника.