На стержне, расположенном горизонтально, имеется груз, прикрепленный к пружине. Другой конец пружины закреплен

Sverkayuschiy_Gnom_2556

65

Данная задача основана на изучении математического маятника, в котором груз подвешен на пружине и колеблется.

Период колебаний \( T \) математического маятника зависит от его длины и ускорения свободного падения и выражается по формуле:

\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} \]

где \( L \) - длина маятника (расстояние от точки подвеса до центра масс груза), \( g \) - ускорение свободного падения (\( g = 9.8 \, \text{м/с}^2 \)).

Известно, что период колебаний связан с циклической частотой \( \omega \) следующим образом:

\[ \omega = \frac{2\pi}{T} \]

Для данной задачи нам также дано, что груз сдвигается от состояния равновесия на 15 см, то есть \( L = 0.15 \, \text{м} \).

Чтобы найти координату груза через \( \frac{1}{4} \) периода колебаний, необходимо определить, сколько времени составляет \( \frac{1}{4} \) периода.

Для этого найдем полный период колебаний \( T \) с помощью известной формулы:

\[ T = \frac{2\pi}{\omega} \]

Затем находим \( \frac{1}{4} \) периода колебаний:

\[ \frac{1}{4} \cdot T \]

Используя найденное время, мы можем определить координату груза в этот момент. Учитывая, что груз сдвинули на 15 см от состояния равновесия, мы можем записать формулу для координаты:

\[ x = L \cdot \cos(\omega \cdot t) \]

где \( t \) - время.

Для вычисления количества полных колебаний, совершенных грузом, мы можем использовать формулу:

\[ N = \frac{t}{T} \]

где \( N \) - количество колебаний, \( t \) - время, \( T \) - период колебаний.

Теперь проведем вычисления:

1. Найдем период колебаний маятника:
\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{0.15}{9.8}} \approx 0.618 \, \text{сек} \]

2. Определим \( \frac{1}{4} \) периода:
\[ \frac{1}{4} \cdot T = \frac{1}{4} \cdot 0.618 \approx 0.154 \, \text{сек} \]

3. Найдем координату груза в момент \( \frac{1}{4} \) периода:
\[ x = L \cdot \cos(\omega \cdot t) = 0.15 \cdot \cos(\frac{2\pi}{T} \cdot 0.154) \]

4. Вычислим количество полных колебаний:
\[ N = \frac{t}{T} = \frac{0.154}{0.618} \approx 0.25 \]

Ответ: Через \( \frac{1}{4} \) периода колебаний координата груза будет равна \( 0.15 \cdot \cos(\frac{2\pi}{T} \cdot 0.154) \) метров. Груз выполнит примерно \( 0.25 \) полных колебаний.