На стороне ВС треугольника АВС мы выбрали точку D так, чтобы соотношение между длинами отрезков CD и DB было 1

Яхонт

36

Для решения этой задачи мы воспользуемся свойствами пропорциональности и серединного перпендикуляра.

Пусть точка E - середина отрезка AD. Также обозначим точку пересечения прямой, проходящей через В и E, со стороной AC как F.

Известно, что отношение между отрезками CD и DB равно 1:2. Это означает, что \( \frac{{CD}}{{DB}} = \frac{{1}}{{2}} \).

Также известно, что точка E - середина отрезка AD. Следовательно, отрезок AE равен отрезку ED.

Теперь рассмотрим треугольник AEF. Так как точка E - середина отрезка AD, то прямая BE является серединным перпендикуляром отрезка AD, а значит, делит его пополам. Это также означает, что отрезок AE равен отрезку EB.

Так как отрезок AE равен отрезку EB, а отрезок AE равен отрезку ED, то отрезки EB и ED также равны между собой.

Теперь рассмотрим треугольник EBC. Мы знаем, что отрезки EB и ED равны между собой. Кроме того, отрезок DB в два раза длиннее отрезка CD. Так как отрезок DB равен отрезку EB и отрезок CD равен \( \frac{{1}}{{2}} \) от отрезка DB, то мы можем записать следующее соотношение:

\( \frac{{CD}}{{EB}} = \frac{{1}}{{2}} \).

Однако, мы хотим выразить отношение, в котором прямая, проходящая через точку В и середину отрезка AD, делит сторону АС, считая от точки А. Из рисунка видно, что отрезок CF равен отрезку AE, поскольку прямая, проходящая через точку В и середину отрезка AD, является серединным перпендикуляром к стороне АС.

Из предыдущего уравнения \( \frac{{CD}}{{EB}} = \frac{{1}}{{2}} \), мы можем заменить EB на CF, так как отрезок CF равен отрезку AE. Получим следующее соотношение:

\( \frac{{CD}}{{CF}} = \frac{{1}}{{2}} \).

Из этого соотношения видно, что отрезок CF в два раза больше отрезка CD.

Таким образом, соотношение, в котором прямая, проходящая через точку В и середину отрезка AD, делит сторону АС, считая от точки А, равно 2:3.