На якій відстані від лінзи розташований екран, якщо зображення предмета на ньому є удвічі більше, ніж сам предмет

Dmitriy

70

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать формулу тонкой линзы:

\[\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}\]

где \(f\) - фокусное расстояние линзы, \(d_o\) - расстояние от предмета до линзы, \(d_i\) - расстояние от изображения до линзы.

Мы можем сказать, что изображение на экране в \(2\) раза больше предмета. Если мы обозначим размер предмета как \(h_o\), а размер изображения как \(h_i\), то отношение этих размеров будет равно:

\[\frac{h_i}{h_o} = 2\]

Дано также, что расстояние от предмета до линзы \(d_o\) больше фокусного расстояния \(f\). Мы можем записать это как:

\[d_o > f\]

При решении задачи нам потребуется еще одно уравнение, которое можно получить из подобия треугольников. По определению увеличения линзы, отношение \(h_i\) к \(h_o\) также равно отношению расстояний \(d_i\) к \(d_o\):

\[\frac{h_i}{h_o} = \frac{d_i}{d_o}\]

Таким образом, у нас есть два уравнения:

\[\frac{h_i}{h_o} = \frac{d_i}{d_o} = 2\]
\[d_o > f\]

Давайте воспользуемся этими уравнениями для решения задачи.

Объединим уравнения:

\[\frac{d_i}{d_o} = 2\]
\[\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}\]

Подставим \(\frac{d_i}{d_o} = 2\) во второе уравнение:

\[\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{2d_o}\]

Сократим дроби:

\[\frac{1}{f} = \frac{3}{2d_o}\]

Перевернем дробь и умножим на \(2d_o\):

\[f = \frac{2d_o}{3}\]

Теперь у нас есть выражение для фокусного расстояния \(f\) через расстояние до предмета \(d_o\).

Так как \(d_o > f\), мы можем выбрать \(d_o\) так, чтобы оно было больше \(f\). Мы можем, например, взять \(d_o = 3f\).

Тогда:

\[f = \frac{2d_o}{3} = \frac{2(3f)}{3} = 2f\]

Расстояние от предмета до изображения \(d_i\) будет равно:

\[\frac{d_i}{d_o} = 2\]
\[d_i = 2d_o = 2(3f) = 6f\]

Таким образом, расстояние от линзы до экрана будет равно \(d_i = 6f\).

Итак, ответ на задачу: расстояние от линзы до экрана равно \(6\) фокусным расстояниям линзы.