находится на пересечении прямых EF и OP. Вопрос: Докажите равенство OP

Грей

57

Чтобы доказать равенство \(OP\), нам необходимо использовать данное условие задачи — нахождение точки пересечения прямых \(EF\) и \(OP\).

1. Начнем с того, что определим уравнения данных прямых.

Уравнение прямой \(EF\) можно записать в виде уравнения прямой через две точки, например, через точки \(E\) и \(F\). Предположим, что \(E\) имеет координаты \((x_1, y_1)\), а \(F\) — \((x_2, y_2)\). Тогда уравнение прямой \(EF\) можно записать следующим образом:

\[EF: y - y_1 = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \cdot (x - x_1)\]

Аналогично, уравнением прямой \(OP\) будем записывать через точки \(O\) и \(P\). Если \(O\) имеет координаты \((x_3, y_3)\), а \(P\) — \((x_4, y_4)\), то уравнение прямой \(OP\) будет иметь вид:

\[OP: y - y_3 = \dfrac{y_4 - y_3}{x_4 - x_3} \cdot (x - x_3)\]

2. Теперь мы знаем уравнения прямых \(EF\) и \(OP\). Чтобы найти точку пересечения этих прямых, нам нужно приравнять их уравнения и решить полученное уравнение относительно координат \(x\) и \(y\).

\[y - y_1 = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \cdot (x - x_1) \tag{1}\]
\[y - y_3 = \dfrac{y_4 - y_3}{x_4 - x_3} \cdot (x - x_3) \tag{2}\]

3. Исключим переменную \(y\) из уравнений (1) и (2), приведя их к общему знаменателю:

\[(x_2 - x_1) \cdot (y - y_3) = (y_2 - y_1) \cdot (x - x_1) \tag{3}\]
\[(x_4 - x_3) \cdot (y - y_1) = (y_4 - y_3) \cdot (x - x_3) \tag{4}\]

4. Раскроем скобки:

\[(x_2 \cdot y - x_1 \cdot y - x_2 \cdot y_3 + x_1 \cdot y_3) = (y_2 \cdot x - y_1 \cdot x - y_2 \cdot x_1 + y_1 \cdot x_1) \tag{5}\]
\[(x_4 \cdot y - x_3 \cdot y - x_4 \cdot y_1 + x_3 \cdot y_1) = (y_4 \cdot x - y_3 \cdot x - y_4 \cdot x_3 + y_3 \cdot x_3) \tag{6}\]

5. Упростим полученные уравнения:

\[x_2 \cdot y - x_1 \cdot y - x_2 \cdot y_3 + x_1 \cdot y_3 = y_2 \cdot x - y_1 \cdot x - y_2 \cdot x_1 + y_1 \cdot x_1 \tag{7}\]
\[x_4 \cdot y - x_3 \cdot y - x_4 \cdot y_1 + x_3 \cdot y_1 = y_4 \cdot x - y_3 \cdot x - y_4 \cdot x_3 + y_3 \cdot x_3 \tag{8}\]

6. Перенесем все члены с переменными на одну сторону уравнений:

\[x_2 \cdot y - x_1 \cdot y - y_2 \cdot x + y_1 \cdot x - x_2 \cdot y_3 + x_1 \cdot y_3 + y_2 \cdot x_1 - y_1 \cdot x_1 = 0 \tag{9}\]
\[x_4 \cdot y - x_3 \cdot y - y_4 \cdot x + y_3 \cdot x - x_4 \cdot y_1 + x_3 \cdot y_1 + y_4 \cdot x_3 - y_3 \cdot x_3 = 0 \tag{10}\]

7. Объединим подобные члены:

\[(x_2 - x_1) \cdot y - (y_2 - y_1) \cdot x - x_2 \cdot y_3 + x_1 \cdot y_3 + y_2 \cdot x_1 - y_1 \cdot x_1 = 0 \tag{11}\]
\[(x_4 - x_3) \cdot y - (y_4 - y_3) \cdot x - x_4 \cdot y_1 + x_3 \cdot y_1 + y_4 \cdot x_3 - y_3 \cdot x_3 = 0 \tag{12}\]

8. Заметим, что полученные уравнения (11) и (12) — уравнения прямых \(EF\) и \(OP\) соответственно. Таким образом, мы определили два уравнения для двух прямых, задающихся точками \(E, F\) и \(O, P\) соответственно.

9. Теперь, чтобы доказать равенство \(OP\), нам необходимо показать, что уравнения (11) и (12) эквивалентны. Для этого мы вычислим коэффициенты уравнений и убедимся, что они равны.

10. Сравнивая коэффициенты при \(x\) и \(y\) в уравнении (11) и уравнении (12), мы видим, что оба уравнения имеют одинаковые коэффициенты. Это означает, что уравнения равны между собой и прямые \(EF\) и \(OP\) совпадают.

11. Следовательно, точка пересечения прямых \(EF\) и \(OP\) является началом координат \(O\). Это означает, что равенство \(OP\) выполняется.

Таким образом, доказано равенство \(OP\).