находится в одном из углов арены и начинает перемещаться по ее песчаной поверхности. Каждую секунду Черепаха может

Пушок

29

Данная задача является примером классической задачи случайного блуждания с равновероятными шагами. Для её решения нам потребуется использовать комбинаторику и некоторые свойства блуждания.

В такой задаче каждый шаг черепахи можно представить как перемещение на одну пиксель в одном из четырёх возможных направлений. При этом каждое направление выбирается с равной вероятностью – 1/4.

Чтобы Черепаха вернулась в начальную точку после N секунд, ей следует пройти равное количество шагов вверх и вниз, а также равное количество шагов вправо и влево. Рассмотрим, какие условия должны выполняться для этого.

Количество шагов вверх и вниз должно быть одинаковым, следовательно, для N должно выполняться условие: N = 2a, где a — целое число.

Несложно заметить, что и количество шагов вправо и влево также должно быть одинаковым. Таким образом, Черепаха может вернуться на своё начало только тогда, когда N — чётное число.

Также отметим, что Черепахе запрещено покидать арену. Это означает, что количество шагов вправо не должно превышать количество шагов влево, и количество шагов вверх не должно превышать количество шагов вниз.

Итак, для того чтобы Черепаха вернулась в начальную точку после 10000 секунд, следует проверить выполнение следующих условий:
1) 10000 должно быть чётным числом: \(10000 = 2 \cdot 5000\);
2) Количество шагов вправо не должно превышать количество шагов влево;
3) Количество шагов вверх не должно превышать количество шагов вниз.

Теперь проанализируем каждое из этих условий.

1) Число 10000 является чётным, поэтому это условие выполнено.

2) Количество шагов вправо не должно превышать количество шагов влево.

Рассмотрим следующую ситуацию: пусть Черепаха сделала 5000 шагов вправо. В этом случае, чтобы вернуться в начальную точку, ей потребуется сделать ещё 5000 шагов влево. Число способов выбрать 5000 моментов для шагов вправо из 10000 возможных моментов равно числу сочетаний из 10000 по 5000, и вычисляется следующим образом:

\[
C_{10000}^5 = \frac{{10000!}}{{5000! \cdot (10000-5000)!}}
\]

3) Количество шагов вверх не должно превышать количество шагов вниз.

Аналогично, чтобы выполнить это условие, Черепахе нужно сделать 5000 шагов вниз при условии 5000 шагов вверх. Число способов выбрать 5000 моментов для шагов вверх из 10000 возможных моментов также равно числу сочетаний из 10000 по 5000.

Теперь, чтобы найти вероятность P(10000), что Черепаха вернётся в начальную точку после 10000 секунд, необходимо поделить количество "успешных" исходов (т.е. когда Черепаха вернулась в начальную точку) на общее количество возможных исходов.

Так как каждый шаг выбирается с равной вероятностью, общее число возможных исходов равно \((2^N)\). Таким образом, искомая вероятность P(10000) может быть найдена следующим образом:

\[
P(10000) = \frac{{C_{10000}^{5000} \cdot C_{10000}^{5000}}}{{2^{10000}}}
\]

Для решения данной задачи нам необходимо вычислить количество сочетаний и произвести вычисления.

Пожалуйста, дайте мне некоторое время для вычислений.