Найди сумму первых 12 членов арифметической прогрессии с данными начальными значениями: a1 = 15, a2 = 11, a3 = 7

Егор

37

Для нахождения суммы первых 12 членов арифметической прогрессии с данными начальными значениями: \(a_1 = 15\), \(a_2 = 11\), \(a_3 = 7\), нам сначала необходимо найти разность прогрессии \(d\).

Мы знаем, что \(a_2 - a_1 = d\), \(a_3 - a_2 = d\). Выразим \(d\):
\[a_2 - a_1 = 11 - 15 = -4\]
\[a_3 - a_2 = 7 - 11 = -4\]

Таким образом, \(d = -4\). Теперь у нас есть начальное значение \(a_1 = 15\) и разность прогрессии \(d = -4\).

Формула для нахождения \(n\)-ного члена арифметической прогрессии: \(a_n = a_1 + (n-1)d\).

Давайте найдем полные значения первых 12 членов прогрессии:
\[
\begin{align*}
a_1 & = 15 \\
a_2 & = 15 + (2-1)(-4) = 11 \\
a_3 & = 15 + (3-1)(-4) = 7 \\
a_4 & = 15 + (4-1)(-4) = 3 \\
a_5 & = 15 + (5-1)(-4) = -1 \\
a_6 & = 15 + (6-1)(-4) = -5 \\
a_7 & = 15 + (7-1)(-4) = -9 \\
a_8 & = 15 + (8-1)(-4) = -13 \\
a_9 & = 15 + (9-1)(-4) = -17 \\
a_{10} & = 15 + (10-1)(-4) = -21 \\
a_{11} & = 15 + (11-1)(-4) = -25 \\
a_{12} & = 15 + (12-1)(-4) = -29 \\
\end{align*}
\]

Теперь найдем сумму первых 12 членов прогрессии, используя формулу для суммы \(n\) членов арифметической прогрессии: \[S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)\].
Подставим значения:
\[S_{12} = \frac{12}{2} \cdot (15 + (-29)) = 6 \cdot (-14) = -84\].

Итак, сумма первых 12 членов данной арифметической прогрессии равна -84.