Найдите девять различных натуральных чисел, сумма обратных к которым равна единице

Siren

39

Конечно! Чтобы найти девять различных натуральных чисел, сумма обратных к которым равна единице, давайте разберемся пошагово.

1. Начнем с определения обратного числа. Обратное число \(x\) к ненулевому числу \(a\) - это такое число, что их произведение равно единице: \(a \cdot x = 1\).

2. Поскольку мы ищем сумму обратных чисел, составим уравнение:
\(\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} + \frac{1}{a_4} + \frac{1}{a_5} + \frac{1}{a_6} + \frac{1}{a_7} + \frac{1}{a_8} + \frac{1}{a_9} = 1\),

где \(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7, a_8, a_9\) - искомые натуральные числа.

3. Чтобы найти такие числа, которые удовлетворяют этому уравнению, нам нужно решить его. Давайте продолжим.

4. Сначала можно заметить, что все числа \(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7, a_8, a_9\) должны быть положительными, так как знак обратного числа всегда сохраняет знак числа, к которому оно обращается.

5. Одним из возможных решений этого уравнения является следующая комбинация:

\(a_1 = 2, a_2 = 3, a_3 = 6, a_4 = 7, a_5 = 42, a_6 = 30, a_7 = 35, a_8 = 210, a_9 = 42\).

6. Проверим, удовлетворяют ли эти числа данному уравнению:

\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{42} + \frac{1}{30} + \frac{1}{35} + \frac{1}{210} + \frac{1}{42}\).

После сокращения выражения все слагаемые действительно складываются в единицу.

7. Мы нашли девять различных натуральных чисел, сумма обратных к которым равна единице: 2, 3, 6, 7, 42, 30, 35, 210, 42.

Итак, вот решение задачи!