Найдите длину стороны AB треугольника ABC, если известно, что AC = 17,4 см, ∢B = 60° и ∢C = 45°. Ответ представьте

Vetka

52

Чтобы найти длину стороны AB треугольника ABC, нам понадобится использовать тригонометрические соотношения, а именно теорему синусов.

Теорема синусов гласит, что отношение длин сторон треугольника к синусам соответствующих противолежащих углов является постоянной величиной.

В нашем случае, мы знаем длину стороны AC, угол B и угол C. Мы хотим найти длину стороны AB.

Поэтому мы можем использовать следующее соотношение:

\[\frac{AB}{\sin(\angle B)} = \frac{AC}{\sin(\angle C)}\]

Подставим известные значения:

\[\frac{AB}{\sin(60°)} = \frac{17,4}{\sin(45°)}\]

Теперь рассмотрим каждую составляющую данного уравнения.

Для начала, рассчитаем значение синуса угла 60°:

\[\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Затем, рассчитаем значение синуса угла 45°:

\[\sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}\]

Теперь, можем заменить значения синусов в уравнении:

\[\frac{AB}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{17,4}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\]

Приведем уравнение к виду:

\[AB = \frac{17,4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\]

Упростим числитель:

\[AB = \frac{17,4 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{2}}\]

Чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{2}\):

\[AB = \frac{17,4 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}\]

\[AB = \frac{17,4 \cdot \sqrt{6}}{2}\]

Упростим выражение, домножив числитель и знаменатель на 2:

\[AB = \frac{34,8 \cdot \sqrt{6}}{2}\]

\[AB = 17,4 \cdot \sqrt{6}\]

Таким образом, длина стороны AB треугольника ABC равна \(17,4 \cdot \sqrt{6}\) см в корневом виде.