Найдите два положительных числа, разность между которыми равна 2. Если сумма квадрата большего числа и произведения

Винтик

52

Для начала, пусть одно из чисел будет \(x\), а другое число - \(y\), где \(x\) больше \(y\).

Мы знаем, что разность между этими числами равна 2:

\[x - y = 2\]

Теперь давайте воспользуемся условием задачи: сумма квадрата большего числа и произведения этих чисел равна 12.

По нашему предположению, \(x\) - это большее число. Тогда мы можем записать:

\[x^2 + xy = 12\]

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (\(x\) и \(y\)). Мы можем решить их, используя метод подстановки.

Сначала решим первое уравнение относительно \(y\):

\[y = x - 2\]

Теперь подставим это значение \(y\) во второе уравнение:

\[x^2 + x(x - 2) = 12\]

Раскроем скобки:

\[x^2 + x^2 - 2x = 12\]

Соберем все члены в одну сторону:

\[2x^2 - 2x - 12 = 0\]

Разделим обе части уравнения на 2:

\[x^2 - x - 6 = 0\]

Это квадратное уравнение. Теперь мы можем решить его, используя формулу дискриминанта или разложение на множители.

Применим разложение на множители:

\[x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) = 0\]

Теперь у нас есть два возможных значения для \(x\):

1) \(x - 3 = 0\) => \(x = 3\)

2) \(x + 2 = 0\) => \(x = -2\)

Мы искали положительные числа, поэтому отбросим второй вариант (\(x = -2\)).

Теперь, чтобы найти \(y\), подставим значение \(x\) в первое уравнение:

\[3 - y = 2\]

Выразим \(y\):

\[y = 3 - 2 = 1\]

Итак, два положительных числа, удовлетворяющих условию задачи, равны \(x = 3\) и \(y = 1\).