Какие значения параметра a удовлетворяют условию уравнения 3cos2x-(a^2-8a+6)sinx=3 и дают 4 корня на отрезке [0;2π]?

Plamennyy_Demon

58

Для нахождения значений параметра \(a\), которые удовлетворяют условию уравнения и дают 4 корня на интервале \([0; 2\pi]\), нам необходимо выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Распишем уравнение и приведём его к виду, подходящему для дальнейшего анализа:
\[3\cos(2x) - (a^2 - 8a + 6)\sin(x) = 3.\]

Шаг 2: Рассмотрим левую часть уравнения более детально. Применим формулу двойного угла \(\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1\):
\[3(2\cos^2(x) - 1) - (a^2 - 8a + 6)\sin(x) = 3.\]

Шаг 3: Преобразуем полученное выражение и приведём его к квадратному уравнению относительно \(\cos(x)\):
\[6\cos^2(x) - (a^2 - 8a + 6)\sin(x) - 3 = 0.\]

Шаг 4: Мы знаем, что наши корни находятся на интервале \([0;2\pi]\), поэтому ограничим значения \(\cos(x)\) от 0 до 1:
\[6\cos^2(x) \leq 6.\]

Шаг 5: Подставим это ограничение в выражение, чтобы найти значение \(\sin(x)\):
\[\sin(x) \geq \frac{{6\cos^2(x) - 3}}{{a^2 - 8a + 6}}.\]

Шаг 6: Известно, что у нас должно быть 4 корня. Чтобы найти значения параметра \(a\), при которых у нас будет 4 корня, мы должны найти интервал значений \(\sin(x)\), который содержит 4 различных значений на интервале \([0;2\pi]\) при значениях \(\cos(x)\) на интервале \([0;1]\).

Шаг 7: Проанализируем ограничение \(\sin(x)\) для поиска интервалов значений параметра \(a\). Для начала, установим, что \(\sin(x)\) положительно.

- Когда \(\sin(x) > 0\), у нас может быть 2 или 4 корня.
- Когда \(\sin(x) = 0\), у нас может быть 0 или 2 корня.
- Когда \(\sin(x) < 0\), у нас может быть 0 корней.

Таким образом, нам нужно найти интервал значений параметра \(a\), который обеспечивает \(\sin(x)\) положительным на полуинтервале \((0;\pi)\) и отрицательным на полуинтервале \((\pi;2\pi)\).

Шаг 8: Для достижения этого условия, давайте рассмотрим знак уравнения \(\sin(x)\) для значения \(x = \pi/2\) и \(x = 3\pi/2\):
- Для \(x = \pi/2\), уравнение будет следующим:
\[\sin(\pi/2) = \frac{{6\cos^2(\pi/2) - 3}}{{a^2 - 8a + 6}}.\]
Заметим, что \(\cos(\pi/2) = 0\), поэтому уравнение принимает вид:
\[\frac{{-3}}{{a^2 - 8a + 6}} > 0.\]
Проанализируем знаки в этом выражении.

- Для \(x = 3\pi/2\), уравнение будет следующим:
\[\sin(3\pi/2) = \frac{{6\cos^2(3\pi/2) - 3}}{{a^2 - 8a + 6}}.\]
Очевидно, что \(\cos(3\pi/2) = 0\), поэтому уравнение примет вид:
\[\frac{{-3}}{{a^2 - 8a + 6}} < 0.\]
Проанализируем знаки в этом выражении.

Шаг 9: Исследуем полученные неравенства относительно значения параметра \(a\) для обоих случаев, и поймём, какие условия должны выполняться, чтобы было 4 корня на интервале \([0; 2\pi]\).

Если мы рассмотрим первое неравенство, \(\frac{{-3}}{{a^2 - 8a + 6}} > 0\), в знаменателе у нас стоит квадратное уравнение, дискриминант которого равен \(D = (-8)^2 - 4 \cdot 6 = 64 - 24 = 40\). Дискриминант больше нуля, поэтому квадратное уравнение имеет два корня \(a_1 = \frac{{8 + \sqrt{40}}}{2} = 4 + \sqrt{10}\) и \(a_2 = \frac{{8 - \sqrt{40}}}{2} = 4 - \sqrt{10}\).

Для того, чтобы неравенство \(\frac{{-3}}{{a^2 - 8a + 6}} > 0\) было выполнено, \(a\) должно принимать значения в интервалах \((-\infty, 4 - \sqrt{10})\) и \((4 + \sqrt{10}), +\infty)\).

Аналогично, если мы рассмотрим второе неравенство, \(\frac{{-3}}{{a^2 - 8a + 6}} < 0\), то оно будет выполнено при значениях \(a\) в интервале \((4 - \sqrt{10}), (4 + \sqrt{10})\).

Таким образом, параметр \(a\) должен принимать значения в интервале \((4 - \sqrt{10}), (4 + \sqrt{10})\) для того, чтобы уравнение имело 4 корня на интервале \([0;2\pi]\).