Найдите количество членов арифметической прогрессии, если сумма первых четырех членов равна 40, сумма последних четырех

Золотой_Вихрь

62

Для решения данной задачи, нам необходимо воспользоваться формулой для суммы членов арифметической прогрессии.

Общая формула для суммы первых n членов арифметической прогрессии:
\[ S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d) \]

где:
\( S_n \) - сумма первых n членов прогрессии,
\( a \) - первый член прогрессии,
\( d \) - разность между соседними членами прогрессии,
\( n \) - количество членов прогрессии.

По условию задачи у нас есть информация о суммах первых и последних четырех членов прогрессии.

Сумма первых четырех членов равна 40:
\[ S_4 = 40 \]

Сумма последних четырех членов равна 104:
\[ S_n = 104 \]

Мы можем использовать эти данные для составления системы уравнений.

Уравнение для суммы первых четырех членов:
\[ S_4 = \frac{4}{2}(2a + (4-1)d) \]
\[ 40 = 2(2a + 3d) \]
\[ 20 = 2a + 3d \] ---- (1)

Уравнение для суммы последних четырех членов:
\[ S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d) \]
\[ 104 = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d) \] ---- (2)

Теперь мы должны решить эту систему уравнений. Для этого мы можем использовать метод подстановки или метод исключения.

Давайте решим эту систему с использованием метода подстановки.

Из уравнения (1) выразим \( a \) через \( d \):
\[ 20 = 2a + 3d \]
\[ 2a = 20 - 3d \]
\[ a = 10 - \frac{3d}{2} \] ---- (3)

Подставим это значение \( a \) в уравнение (2):
\[ 104 = \frac{n}{2}\left(2\left(10 - \frac{3d}{2}\right) + (n-1)d\right) \]
\[ 104 = n\left(10 - \frac{3d}{2} + \frac{(n-1)d}{2}\right) \]
\[ 208 = n\left(20 - 3d + (n-1)d\right) \]
\[ 208 = n\left(20 - 3d + dn - d\right) \]
\[ 208 = n\left(20 - 4d + dn\right) \]
\[ 208 = 20n - 4dn + dn^2 \]
\[ dn^2 - 4dn + (20n - 208) = 0 \]

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Мы можем решить его с помощью дискриминанта или метода факторизации.

После решения квадратного уравнения, мы найдем значения \( d \) и \( n \).

Как только мы найдем значения \( d \) и \( n \), мы сможем найти количество членов арифметической прогрессии.