Найдите координаты точек пересечения окружности с радиусом 5 см и центром в начале координат с прямой, уравнение

Skat

13

что мы работаем в декартовой системе координат).

Чтобы найти точки пересечения между окружностью и прямой, мы должны подставить уравнение прямой в уравнение окружности и решить полученное уравнение для координат x и y.

Итак, у нас есть уравнение окружности:

\[x^2 + y^2 = 5^2\]

и уравнение прямой:

\[y = 7 - x\]

Начнем с подстановки уравнения прямой в уравнение окружности:

\[x^2 + (7 - x)^2 = 5^2\]

Раскроем скобки:

\[x^2 + (49 - 14x + x^2) = 25\]

Сгруппируем одинаковые слагаемые:

\[2x^2 - 14x + 24 = 0\]

Теперь нам нужно решить это квадратное уравнение. Мы можем либо использовать квадратное уравнение, либо применить метод факторизации. Давайте воспользуемся формулой квадратного корня:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

В нашем случае, a = 2, b = -14 и c = 24. Подставим эти значения в формулу:

\[x = \frac{-(-14) \pm \sqrt{(-14)^2 - 4(2)(24)}}{2(2)}\]

Выполняя вычисления, получаем:

\[x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 192}}{4}\]

\[x = \frac{14 \pm \sqrt{4}}{4}\]

\[x = \frac{14 \pm 2}{4}\]

Теперь у нас есть два значения x:

\[x_1 = \frac{14 + 2}{4} = \frac{16}{4} = 4\]

\[x_2 = \frac{14 - 2}{4} = \frac{12}{4} = 3\]

Теперь подставим эти значения x в уравнение прямой, чтобы найти соответствующие значения y:

\[y_1 = 7 - x_1 = 7 - 4 = 3\]

\[y_2 = 7 - x_2 = 7 - 3 = 4\]

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: (4, 3) и (3, 4).

Окончательный ответ: Координаты точек пересечения окружности с радиусом 5 см и центром в начале координат с прямой y = 7 − x равны (4, 3) и (3, 4).