Найдите объем конуса, если длина его образующей равна 30 дм, а угол между образующей и плоскостью основания равен

Маруся

56

Хорошо, давайте решим данную задачу!

Объем конуса можно вычислить по формуле:
\[V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h\]

Здесь \(V\) - объем конуса, \(\pi\) - математическая константа, примерно равная 3,14, \(r\) - радиус основания конуса, а \(h\) - высота конуса.

Для данной задачи нам дана длина образующей конуса, равная 30 дм. Образующая (\(l\)) - это отрезок, соединяющий вершину конуса и точку на окружности основания.

У нас также дан угол между образующей и плоскостью основания конуса, равный 30 градусов.

Для начала, нам необходимо найти высоту (\(h\)) и радиус (\(r\)) основания конуса, чтобы затем подставить их в формулу.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом основания (\(r\)), половиной образующей (\(l/2\)) и высотой (\(h\)).
Угол между радиусом и образующей конуса равен 30 градусов.
По свойствам прямоугольного треугольника, можно применить тригонометрические соотношения, такие как синусы и косинусы.

Мы знаем, что \(\cos(30°) = \frac{r}{l/2}\) (по определению косинуса), то есть \(\frac{r}{l/2} = \cos(30°)\).
\(\cos(30°)\) равен \( \sqrt{3}/2 \) (поскольку значение косинуса 30 градуов равно \( \sqrt{3}/2 \)), поэтому у нас получается:
\(\frac{r}{l/2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Таким образом, мы можем найти радиус основания (\(r\)) путем выражения его через половину образующей:
\(r = \frac{l}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\).

2. Теперь нам нужно найти высоту (\(h\)) конуса.
Для этого мы можем использовать теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике, состоящем из радиуса (\(r\)), высоты (\(h\)) конуса и образующей (\(l\)).
Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
\(r^2 + h^2 = (l/2)^2\).
Заметим, что \(r = \frac{l}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\), поэтому можем подставить значение радиуса:
\(\left(\frac{l}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + h^2 = \left(\frac{l}{2}\right)^2\).

Раскроем скобки и упростим:
\(\frac{3}{4} \cdot l^2 + h^2 = \frac{1}{4} \cdot l^2\).
Вычтем \(\frac{1}{4} \cdot l^2\) с обеих сторон уравнения:
\(\frac{3}{4} \cdot l^2 - \frac{1}{4} \cdot l^2 = h^2\).
Получаем:
\(\frac{1}{2} \cdot l^2 = h^2\).

Возведем обе части уравнения в квадрат для решения:
\(h = \sqrt{\frac{1}{2} \cdot l^2}\).

3. Теперь у нас есть значение радиуса основания конуса (\(r\)) и высоты конуса (\(h\)).
Мы можем использовать формулу для вычисления объема конуса:
\(V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h\).
Подставим значения радиуса и высоты:
\(V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot \left(\frac{l}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot \sqrt{\frac{1}{2} \cdot l^2}\).

Упростим выражение:
\(V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot \left(\frac{3}{4} \cdot l^2\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{2} \cdot l^2}\).

Умножим числители и знаменатель:
\(V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot l^2 \cdot l\).
Сократим дробные коэффициенты:
\(V = \frac{\pi}{8} \cdot l^3\).

Таким образом, объем конуса равен \(\frac{\pi}{8} \cdot l^3\). Подставив значение длины образующей (\(l = 30\) дм), мы получим окончательный ответ:
\(V = \frac{\pi}{8} \cdot (30 \, \text{дм})^3\).