Найдите отношение суммы чисел, стоящих в 15-20 строках треугольника Паскаля, к сумме чисел, стоящих в 25-30 строках

Tainstvennyy_Mag

24

Чтобы решить эту задачу, давайте посмотрим на структуру треугольника Паскаля и определим, какие строки нам нужны.

Треугольник Паскаля представляет собой такую геометрическую фигуру, где в каждой строке числа образуются путем сложения двух чисел из предыдущей строки. Начинается он с единицы на вершине, и каждая строка начиная со второй имеет на одно число больше, чем предыдущая строка.

Начнем с построения первых строк треугольника Паскаля:

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
...

Для решения нашей задачи нам понадобятся суммы чисел в строках с 15 по 20 и с 25 по 30. Давайте найдем эти суммы:

15-я строка:
1 + 14 + 91 + 364 + 1001 + 2002 + 3003 + 3432 + 3003 + 2002 + 1001 + 364 + 91 + 14 + 1 = 16384

16-я строка:
1 + 15 + 105 + 455 + 1365 + 3003 + 5005 + 6435 + 6435 + 5005 + 3003 + 1365 + 455 + 105 + 15 + 1 = 65536

17-я строка:
1 + 16 + 120 + 560 + 1820 + 4368 + 8008 + 11440 + 12870 + 11440 + 8008 + 4368 + 1820 + 560 + 120 + 16 + 1 = 196608

18-я строка:
1 + 17 + 136 + 816 + 3060 + 8568 + 18564 + 31824 + 43758 + 48620 + 43758 + 31824 + 18564 + 8568 + 3060 + 816 + 136 + 17 + 1 = 458752

19-я строка:
1 + 18 + 153 + 969 + 3876 + 12376 + 31824 + 64680 + 104976 + 135207 + 135207 + 104976 + 64680 + 31824 + 12376 + 3876 + 969 + 153 + 18 + 1 = 917504

20-я строка:
1 + 19 + 171 + 1140 + 4845 + 15504 + 38760 + 77520 + 125970 + 167960 + 184756 + 167960 + 125970 + 77520 + 38760 + 15504 + 4845 + 1140 + 171 + 19 + 1 = 16777216

Теперь найдем суммы чисел в строках с 25 по 30:

25-я строка:
1 + 24 + 276 + 2024 + 10626 + 42504 + 134596 + 346104 + 735471 + 1307504 + 1961256 + 2496144 + 2704156 + 2496144 + 1961256 + 1307504 + 735471 + 346104 + 134596 + 42504 + 10626 + 2024 + 276 + 24 + 1 = 33554432

26-я строка:
1 + 25 + 300 + 2300 + 12650 + 53130 + 177100 + 480700 + 1081575 + 2042975 + 3268760 + 4457400 + 5200300 + 5200300 + 4457400 + 3268760 + 2042975 + 1081575 + 480700 + 177100 + 53130 + 12650 + 2300 + 300 + 25 + 1 = 67108864

27-я строка:
1 + 26 + 325 + 2600 + 14950 + 65780 + 230230 + 657800 + 1562275 + 3124550 + 5311735 + 7726160 + 9657700 + 10400600 + 9657700 + 7726160 + 5311735 + 3124550 + 1562275 + 657800 + 230230 + 65780 + 14950 + 2600 + 325 + 26 + 1 = 134217728

28-я строка:
1 + 27 + 351 + 2925 + 17550 + 80730 + 296010 + 888030 + 2220075 + 4686825 + 8436285 + 13037895 + 17383860 + 20058300 + 20058300 + 17383860 + 13037895 + 8436285 + 4686825 + 2220075 + 888030 + 296010 + 80730 + 17550 + 2925 + 351 + 27 + 1 = 268435456

29-я строка:
1 + 28 + 378 + 3276 + 20475 + 98280 + 376740 + 1184040 + 3108105 + 6906900 + 13123110 + 21474180 + 30421755 + 37442160 + 40116600 + 37442160 + 30421755 + 21474180 + 13123110 + 6906900 + 3108105 + 1184040 + 376740 + 98280 + 20475 + 3276 + 378 + 28 + 1 = 536870912

30-я строка:
1 + 29 + 406 + 3654 + 23751 + 118755 + 475020 + 1560780 + 4292145 + 10015005 + 20030010 + 34597290 + 51895935 + 67863915 + 77558760 + 77558760 + 67863915 + 51895935 + 34597290 + 20030010 + 10015005 + 4292145 + 1560780 + 475020 + 118755 + 23751 + 3654 + 406 + 29 + 1 = 1073741824

Теперь мы можем вычислить отношение суммы чисел, стоящих в 15-20 строках треугольника Паскаля, к сумме чисел, стоящих в 25-30 строках треугольника Паскаля:

\[
\frac{{16384 + 65536 + 196608 + 458752 + 917504 + 16777216}}{{33554432 + 67108864 + 134217728 + 268435456 + 536870912 + 1073741824}} = \frac{{17915936}}{{3221225472}} \approx 0.005558008
\]

Отношение суммы чисел, стоящих в 15-20 строках треугольника Паскаля, к сумме чисел, стоящих в 25-30 строках треугольника Паскаля, примерно равно 0.005558008.

Надеюсь, это подробное решение помогло вам понять, как мы пришли к этому отношению. Если у вас остались какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать!