Найдите первообразную функции f(x) = 2x^2 - 3, график которой проходит через точку A(-3

Zolotoy_List

1

Хорошо, давайте найдем первообразную функции \(f(x) = 2x^2 - 3\) и определим константу интегрирования с помощью информации о графике, проходящей через точку \(A(-3, y)\).

Шаг 1: Найдем первообразную функции \(2x^2 - 3\), интегрируя каждый член по отдельности.

Интегрируем \(2x^2\):
\(\int 2x^2 \, dx = \frac{2}{3} x^3 + C_1\)

Интегрируем \(-3\):
\(\int -3 \, dx = -3x + C_2\)

Здесь \(C_1\) и \(C_2\) - произвольные постоянные.

Шаг 2: Суммируем результаты интегрирования по каждому члену:
\(\int (2x^2 - 3) \, dx = \frac{2}{3} x^3 - 3x + C\)

Здесь \(C\) - константа интегрирования, которую мы обозначаем, чтобы она не пересекалась с \(C_1\) и \(C_2\).

Шаг 3: Теперь нужно использовать информацию о графике, проходящем через точку \(A(-3, y)\), чтобы найти значению константы интегрирования.

Подставим координаты точки в уравнение графика:
\(y = \frac{2}{3} (-3)^3 - 3(-3) + C\)

Выполняя вычисления, получаем:
\(y = \frac{2}{3} (-27) + 9 + C\)
\(y = -18 + 9 + C\)
\(y = -9 + C\)

Точка \(A(-3, y)\) лежит на графике функции, значит, значения \(x\) и \(y\) должны совпадать. Это дает нам уравнение:
\(-3 = -9 + C\)

Решим это уравнение:
\(C = -3 - (-9)\)
\(C = -3 + 9\)
\(C = 6\)

Шаг 4: Теперь мы можем записать окончательное уравнение первообразной функции:
\(\int (2x^2 - 3) \, dx = \frac{2}{3} x^3 - 3x + 6\)

Итак, первообразная функции \(f(x) = 2x^2 - 3\), проходящей через точку \(A(-3, y)\), имеет вид:
\(F(x) = \frac{2}{3} x^3 - 3x + 6 + C\)

Где \(C\) - константа интегрирования.