Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если боковая поверхность, проецируемая на плоскость, - прямоугольник abcd

Grigoryevich

48

Хорошо, чтобы найти площадь полной поверхности цилиндра, нужно учесть две составляющие: площадь боковой поверхности и площадь двух оснований.

Дано, что боковая поверхность проецируется на плоскость и образует прямоугольник abcd. Задано, что сторона bd прямоугольника равна 8, а угол abd составляет 60 градусов.

Первым шагом построим прямоугольный треугольник abd, чтобы лучше представить себе ситуацию.
Мы знаем, что bd — это радиус цилиндра (r), а высота цилиндра (h) проходит через центр основания, поэтому она будет стоять перпендикулярно плоскости прямоугольника abcd.
Согласно заданию, мы знаем, что угол abd — 60 градусов. Из свойств прямоугольного треугольника, мы можем использовать тригонометрию, чтобы найти сторону ab (основание цилиндра).

Так как sin(60 градусов) = противолежащий/гипотенуза, мы можем записать:
sin(60 градусов) = ab / bd
ab = sin(60 градусов) * bd
ab = sin(60 градусов) * 8
ab = 8 * √3 / 2
ab = 4√3

Теперь у нас есть все данные, чтобы найти площадь полной поверхности цилиндра. Формула для этого:

S = 2πrh + 2πr^2,

где S — площадь полной поверхности цилиндра, r — радиус цилиндра, h — высота цилиндра.

Мы уже знаем, что bd = r = 8 и ab = √3 * 4. Нужно только найти высоту цилиндра.

Для этого, используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике abd, получим:
ad^2 = ab^2 + bd^2
ad^2 = (4√3)^2 + 8^2
ad^2 = 48 + 64
ad^2 = 112
ad = √112
ad = 4√7

Теперь у нас есть все значения, чтобы рассчитать площадь полной поверхности цилиндра.
Подставим r = 8, h = ad = 4√7 в формулу:
S = 2πrh + 2πr^2
S = 2π * 8 * 4√7 + 2π * 8^2
S = 16π√7 + 128π
S = 16π(√7 + 8)

Итак, площадь полной поверхности цилиндра равна 16π(√7 + 8).