Каков радиус цилиндра, если он вписан в конус с образующей l = 13 см, а прямая, проходящая через центр верхнего

Ivanovich

61

Чтобы найти радиус цилиндра, вписанного в конус, мы можем использовать свойства вписанных фигур и тригонометрические соотношения. Давайте разберемся:

По условию, у нас есть конус с образующей \(l = 13\) см и углом между образующей и высотой конуса, равным 30 градусам.

Также дано, что прямая, проходящая через центр верхнего основания цилиндра и любую точку окружности основания конуса, образует угол в 45 градусов с основанием конуса.

Чтобы решить эту задачу, мы можем воспользоваться следующими свойствами:

1. Для вписанного цилиндра диаметр его основания равен длине образующей конуса. Таким образом, диаметр цилиндра равен \(d_{\text{цил}} = l = 13\) см.

2. Угол, образованный между образующей конуса и его высотой, равен 30 градусам. Зная это, мы можем найти удвоенный угол, образованный между основанием конуса и его образующей. Таким образом, этот угол равен \(2 \cdot 30^\circ = 60^\circ\).

3. Мы знаем, что прямая, проходящая через центр верхнего основания цилиндра, делит угол между основанием конуса и его образующей на две равные части. Таким образом, у нас есть прямоугольный треугольник между диаметром цилиндра, образующей конуса и прямой, проходящей через центр верхнего основания цилиндра. Угол между диаметром и прямой равен 45 градусам.

Теперь мы можем найти радиус цилиндра, используя тригонометрию. По определению, тангенс угла между диаметром и прямой равен отношению противолежащего катета (радиус цилиндра) к прилежащему катету (половине диаметра цилиндра). Поэтому:

\[\tan(45^\circ) = \frac{r}{\frac{d_{\text{цил}}}{2}}\]

Так как \(d_{\text{цил}} = 13\) см, заменяем его в формуле и решаем уравнение:

\[\tan(45^\circ) = \frac{r}{\frac{13}{2}}\]

\[\frac{1}{1} = \frac{r}{\frac{13}{2}}\]

\[r = \frac{13}{2}\]

Итак, радиус цилиндра составляет \(\frac{13}{2}\) или 6,5 см.