Найдите площадь трапеции a1b1c1d1, если в нее можно вписать круг с диаметром исходной трапеции abcd со сторонами ab=2

Яхонт

53

Хорошо! Давайте решим эту задачу пошагово.

Шаг 1: Найдем высоту исходной трапеции abcd. Для этого разберем трапецию на два треугольника - abe и cde, где e - точка пересечения диагоналей.

Так как ab = 2 см, а cd = 8 см, то ae = \(\frac{ab + cd}{2} = \frac{2 + 8}{2} = 5\) см.

Теперь наша задача - найти высоту треугольника abe. Проекция высоты abe на основание ab равна половине основания, то есть \(\frac{ab}{2} = \frac{2}{2} = 1\) см.

Используя теорему Пифагора, найдем высоту треугольника abe. Для этого возведем в квадрат гипотенузу ab и высоту находим по формуле \(h^2 = ae^2 - be^2\).

ae = 5 см, be = 1 см

\(h^2 = 5^2 - 1^2 = 25 - 1 = 24\)

\(h = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}\) см

Таким образом, высота треугольника abe равна \(2\sqrt{6}\) см.

Шаг 2: Найдем площадь треугольника abe. Формула для нахождения площади треугольника - половина произведения основания на высоту.

Площадь треугольника \(S_1 = \frac{1}{2} \cdot ab \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2\sqrt{6} = 2\sqrt{6}\) см².

Шаг 3: Найдем площадь круга, который можно вписать в трапецию abcd. Диаметр круга равен длине большей стороны трапеции, то есть cd = 8 см.

Радиус круга \(r = \frac{cd}{2} = \frac{8}{2} = 4\) см.

Площадь круга \(S_2 = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot 4^2 = 16\pi\) см².

Шаг 4: Итак, площадь исходной трапеции a1b1c1d1 равна сумме площадей треугольника abe и круга.

Площадь трапеции \(S = S_1 + S_2 = 2\sqrt{6} + 16\pi\) см².

Таким образом, площадь трапеции a1b1c1d1 равна \(2\sqrt{6} + 16\pi\) см².