Найдите площадь треугольника ABT, при условии, что AT = 22 см, ∡A=55°, ∡B=60°. SABT= кв. см (округлите
Найдите площадь треугольника ABT, при условии, что AT = 22 см, ∡A=55°, ∡B=60°. SABT= кв. см (округлите все промежуточные значения до десятитысячных, а ответ до сотых).
Sladkaya_Babushka_5918 26
Чтобы найти площадь треугольника ABT, используем формулу для площади треугольника, которая определяется по двум его сторонам и углу между ними:\[S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BT \cdot \sin(\angle B)\]
Однако, у нас изначально дано значение стороны AT и два угла треугольника ∠A и ∠B. Нам нужно найти стороны AB и BT, чтобы использовать формулу для площади треугольника.
Используем теорему синусов, которая гласит:
\[\frac{AB}{\sin(\angle B)} = \frac{BT}{\sin(\angle A)} = \frac{AT}{\sin(\angle C)}\]
Мы знаем значения стороны AT и углов ∠A и ∠B, поэтому можем выразить стороны AB и BT, заменив значения в формуле:
\[\frac{AB}{\sin(60^\circ)} = \frac{22 \, \text{см}}{\sin(55^\circ)}\]
\[\frac{BT}{\sin(55^\circ)} = \frac{22 \, \text{см}}{\sin(60^\circ)}\]
Теперь найдем значения сторон AB и BT:
\[\frac{AB}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{22 \, \text{см}}{\sin(55^\circ)} \implies AB = \frac{22 \, \text{см} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sin(55^\circ)}\]
\[\frac{BT}{\sin(55^\circ)} = \frac{22 \, \text{см}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \implies BT = \frac{22 \, \text{см} \cdot \sin(55^\circ)}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\]
Теперь, когда у нас есть значения сторон AB и BT, мы можем вычислить площадь треугольника. Подставим значения в формулу:
\[S = \frac{1}{2} \cdot \frac{22 \, \text{см} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sin(55^\circ)} \cdot \frac{22 \, \text{см} \cdot \sin(55^\circ)}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot \sin(60^\circ)\]
\[S = \frac{1}{2} \cdot \frac{22 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 22 \cdot \sin(55^\circ) \cdot \sin(60^\circ)}{\sin(55^\circ) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}\]
Упростим выражение:
\[S = \frac{1}{2} \cdot 22 \cdot 22 \cdot \sin(60^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 22 \cdot 22 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]
\[S = 121 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 60.5 \cdot \sqrt{3}\]
Округлим промежуточное значение до десятитысячных:
\[S \approx 105.0362\]
И округлим ответ до сотых:
\[SABT \approx 105.04 \, \text{кв. см}\]