Найдите площадь треугольника ABT, при условии, что AT = 22 см, ∡A=55°, ∡B=60°. SABT= кв. см (округлите

Sladkaya_Babushka_5918

26

Чтобы найти площадь треугольника ABT, используем формулу для площади треугольника, которая определяется по двум его сторонам и углу между ними:

\[S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BT \cdot \sin(\angle B)\]

Однако, у нас изначально дано значение стороны AT и два угла треугольника ∠A и ∠B. Нам нужно найти стороны AB и BT, чтобы использовать формулу для площади треугольника.

Используем теорему синусов, которая гласит:

\[\frac{AB}{\sin(\angle B)} = \frac{BT}{\sin(\angle A)} = \frac{AT}{\sin(\angle C)}\]

Мы знаем значения стороны AT и углов ∠A и ∠B, поэтому можем выразить стороны AB и BT, заменив значения в формуле:

\[\frac{AB}{\sin(60^\circ)} = \frac{22 \, \text{см}}{\sin(55^\circ)}\]

\[\frac{BT}{\sin(55^\circ)} = \frac{22 \, \text{см}}{\sin(60^\circ)}\]

Теперь найдем значения сторон AB и BT:

\[\frac{AB}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{22 \, \text{см}}{\sin(55^\circ)} \implies AB = \frac{22 \, \text{см} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sin(55^\circ)}\]

\[\frac{BT}{\sin(55^\circ)} = \frac{22 \, \text{см}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \implies BT = \frac{22 \, \text{см} \cdot \sin(55^\circ)}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\]

Теперь, когда у нас есть значения сторон AB и BT, мы можем вычислить площадь треугольника. Подставим значения в формулу:

\[S = \frac{1}{2} \cdot \frac{22 \, \text{см} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sin(55^\circ)} \cdot \frac{22 \, \text{см} \cdot \sin(55^\circ)}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot \sin(60^\circ)\]

\[S = \frac{1}{2} \cdot \frac{22 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 22 \cdot \sin(55^\circ) \cdot \sin(60^\circ)}{\sin(55^\circ) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}\]

Упростим выражение:

\[S = \frac{1}{2} \cdot 22 \cdot 22 \cdot \sin(60^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 22 \cdot 22 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

\[S = 121 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 60.5 \cdot \sqrt{3}\]

Округлим промежуточное значение до десятитысячных:

\[S \approx 105.0362\]

И округлим ответ до сотых:

\[SABT \approx 105.04 \, \text{кв. см}\]