Які координати точки L? Яке положення точки L задовольняє вектор KL, відкладений від точки K, що дорівнює вектору

Ledyanoy_Volk

32

JK і має довжину 5 одиниць, коли точка K має координати (3, 4), а вектор JI має координати (-2, -3).

Спочатку, давайте знайдемо координати точки I. Знаючи, що вектор JI має довжину 5, ми можемо використовувати формулу відстані між точками, щоб знайти координати точки I. Формула відстані між двома точками (x₁, y₁) і (x₂, y₂) виглядає так:

\[d = \sqrt{{(x₂ - x₁)^2 + (y₂ - y₁)^2}}\]

Тут ми використаємо цю формулу, де точка I є одним з кінців вектора JI, точка J має координати (0, 0) (так як це початок вектора JI), а довжина вектора JI складає 5 одиниць:

\[5 = \sqrt{{(-2 - 0)^2 + (-3 - 0)^2}}\]

\[5 = \sqrt{{4 + 9}}\]

\[5 = \sqrt{{13}}\]

Отже, довжина вектора JI становить \(\sqrt{{13}}\). За допомогою цієї довжини, ми можемо визначити координати точки I:

\[\sqrt{{13}} = \sqrt{{(x - 0)^2 + (y - 0)^2}}\]

\[\sqrt{{13}} = \sqrt{{x^2 + y^2}}\]

Піднесемо обидві частини рівняння до квадрату для спрощення:

\[13 = x^2 + y^2\]

Отже, у нас є рівняння круга з центром у початку координат (0, 0) і радіусом \(\sqrt{{13}}\).

Тепер нам потрібно знайти точку на цьому колі, яка задовольняє вектор KL. Знаючи координати точки K (3, 4) і вектору KL, який дорівнює вектору JK, ми можемо скласти рівняння:

\[JK = KL\]

\[KL = JK\]

\[KL = (x - 3, y - 4)\]

\[5 = \sqrt{{(x - 3)^2 + (y - 4)^2}}\]

\[25 = (x - 3)^2 + (y - 4)^2\]

Таким чином, у нас є друге рівняння кола з центром у точці K (3, 4) і радіусом 5.

Знаючи обидва рівняння круга, ми можемо вирішити їх одночасно. Підстановка рівняння:

\[x^2 + y^2 = 13\]

\[x^2 - 6x + 9 + y^2 - 8y + 16 = 25\]

\[x^2 + y^2 - 6x - 8y = 0\]

\[13 - 6x - 8y = 0\]

\[13 = 6x + 8y\]

\[6x + 8y = 13\]

Тепер у нас є система двох лінійних рівнянь:

\[
\begin{cases}
x^2 + y^2 = 13 \\
6x + 8y = 13
\end{cases}
\]

Можемо вирішити цю систему рівнянь. Використовуючи друге рівняння, можемо виразити x через y:

\[6x = 13 - 8y\]

\[x = \frac{{13 - 8y}}{{6}}\]

Підставимо це в перше рівняння:

\[\left(\frac{{13 - 8y}}{{6}}\right)^2 + y^2 = 13\]

Розкриємо квадрат:

\[\frac{{(13 - 8y)^2}}{{36}} + y^2 = 13\]

\[169 - 208y + 64y^2 + 36y^2 = 468\]

\[100y^2 - 208y + 169 = 468\]

\[100y^2 - 208y + 299 = 0\]

Тепер ми можемо вирішити це квадратне рівняння, використовуючи квадратну формулу \(y = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}\), де a = 100, b = -208, c = 299.

\[y = \frac{{208 \pm \sqrt{{(-208)^2 - 4 \cdot 100 \cdot 299}}}}{{2 \cdot 100}}\]

\[y = \frac{{208 \pm \sqrt{{43304 - 119600}}}}{{200}}\]

\[y = \frac{{208 \pm \sqrt{{-76296}}}}{{200}}\]

Оскільки дискримінант від"ємний, то це означає, що рівняння не має розв"язків у дійсних числах. Тому, точка L не існує у просторі.

Отже, відповідь на поставлену задачу: точка L не існує у просторі.