Найдите плоскость, которая проходит через сечение куба, заданного вершинами ABCDA1B1C1D1, и параллельную плоскости

Igor

14

Для начала, давайте определим плоскость, которая проходит через сечение куба ABCDA1B1C1D1.

Поскольку куб имеет ребра одинаковой длины, площадь каждой грани будет квадратом со стороной, равной длине ребра. В нашем случае, пусть сторона куба равна a.

Чтобы найти плоскость, проходящую через сечение куба, нам нужно найти два непараллельных вектора, лежащих в этой плоскости.

Заметим, что вектор AB лежит в плоскости, проходящей через сечение куба. Аналогично, вектор AD лежит тоже в этой плоскости. Таким образом, мы можем найти векторное произведение этих двух векторов, чтобы получить нормаль к плоскости.

\[ \vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (a, 0, 0) - (0, 0, 0) = (a, 0, 0)\]
\[ \vec{AD} = \vec{D} - \vec{A} = (0, 0, a) - (0, 0, 0) = (0, 0, a)\]

Теперь найдем векторное произведение:

\[ \vec{N} = \vec{AB} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a \end{vmatrix} = (0a - 0a, -(0a - 0a), a^2 - 0 \cdot 0) = (0, 0, a^2) \]

Таким образом, нормаль к плоскости, проходящей через сечение куба, имеет координаты (0, 0, a^2).

Теперь давайте найдем плоскость, которая параллельна плоскости, проходящей через точки M и N.

Так как плоскость параллельна, нормаль к ней будет такой же, как нормаль к плоскости, проходящей через сечение куба. То есть, нормаль к плоскости, проходящей через точки M и N, также будет иметь координаты (0, 0, a^2).

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точки M и N, будет иметь вид Ax + By + Cz + D = 0, где (A, B, C) представляет нормаль к плоскости, а (x, y, z) - координаты точки на плоскости.

Подставим координаты точки M (AM:MA1=2:1) и нормаль (0, 0, a^2) в уравнение плоскости:

\[ 0 \cdot x + 0 \cdot y + a^2 \cdot z + D = 0 \]
\[ a^2 \cdot z + D = 0 \]

Подставим кординаты точки M (2a, 0, 0):

\[ a^2 \cdot 0 + D = 0 \]
\[ D = 0 \]

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точки M и N, будет:

\[ a^2 \cdot z + 0 = 0 \]
\[ a^2 \cdot z = 0 \]

Отсюда можно сделать вывод, что плоскость, проходящая через сечение куба и параллельная плоскости, проходящей через точки M и N, имеет уравнение a^2 * z = 0.

Я надеюсь, что это решение понятно для вас! Если у вас возникли вопросы, не стесняйтесь задавать!