Каков радиус описанной окружности треугольника abc, если известно, что ab=5, bc=9, be перпендикулярно ас и ве=3?

Feya

58

Для решения этой задачи, мы можем использовать свойство описанной окружности треугольника. Описанная окружность треугольника является окружностью, проходящей через все три вершины треугольника. Формула, позволяющая вычислить радиус описанной окружности, основывается на соотношении между сторонами треугольника и радиусом описанной окружности. Мы можем записать следующее уравнение:

\[ab \times bc \times ca = 2 \times радиус \times полупериметр \times радиус \]

Сначала нам необходимо найти длину стороны \(ac\) через применение теоремы Пифагора в прямоугольном треугольнике \(bec\):

\[ae^2 + ec^2 = bc^2 \]

Подставляя значения, получаем:

\[3^2 + ec^2 = 9^2 \]

Решая это уравнение, мы найдем:

\[ec = \sqrt{9^2 - 3^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \]

Теперь, имея длины сторон \(ab\), \(bc\) и \(ac\), мы можем использовать формулу, упомянутую выше, для вычисления радиуса описанной окружности. Давайте продолжим:

\[5 \times 9 \times ac = 2 \times радиус \times \left(\frac{{5 + 9 + ac}}{2}\right)\times радиус \]

\[45 \times ac = \left(\frac{{5 + 9 + ac}}{2}\right)\times радиус^2 \]

\[45ac = \frac{{ac + 14}}{2}\times радиус^2 \]

Мы также знаем, что \(ec = 6\sqrt{2}\). Теперь мы можем подставить это значение в уравнение:

\[45 \times 6\sqrt{2} = \frac{{6\sqrt{2} + 14}}{2}\times радиус^2 \]

\[\frac{{270\sqrt{2}}}{\sqrt{2}} = \frac{{6\sqrt{2} + 14}}{2}\times радиус^2 \]

\[270 = (3\sqrt{2} + 7)\times радиус^2 \]

Теперь мы можем решить это уравнение для радиуса, деля обе стороны на \(3\sqrt{2} + 7\):

\[радиус^2 = \frac{{270}}{{3\sqrt{2} + 7}} \]

\[радиус = \sqrt{\frac{{270}}{{3\sqrt{2} + 7}}} \]

Значение радиуса может быть вычислено, подставляя это выражение в калькулятор. Полученный ответ является числовым приближением радиуса описанной окружности треугольника \(abc\).