Найдите радиус вписанной окружности равнобедренной трапеции, в которой один из углов равен arctg 4/3, а площадь равна

Yaponka

54

Для начала, давайте вспомним некоторые свойства равнобедренных трапеций. В равнобедренной трапеции основания (верхнее и нижнее основания) параллельны и равны, а боковые стороны также равны.

Пусть в нашей трапеции нижнее основание равно \(a\), а верхнее основание равно \(b\). Поскольку один из углов трапеции равен \(arctg \frac{4}{3}\), то это означает, что соответствующий боковой угол будет иметь такое же значение \(arctg \frac{4}{3}\). Обозначим этот боковой угол как \(\alpha\).

Теперь мы можем использовать формулу для площади трапеции, чтобы найти радиус вписанной окружности. Пусть \(S\) - площадь трапеции, \(r\) - радиус вписанной окружности. Тогда формула будет выглядеть следующим образом:

\[S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}\]

где \(h\) - высота трапеции.

Обратите внимание, что площадь трапеции можно представить как разность площадей двух треугольников: один треугольник, основанием которого является нижнее основание трапеции, а высотой - радиус вписанной окружности, и второй треугольник, основанием которого является верхнее основание трапеции, а высотой - радиус вписанной окружности.

Теперь давайте найдем высоту трапеции. Мы можем использовать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного радиусом вписанной окружности, одним из боковых сторон и высотой. Имеем:

\[\tan(\alpha) = \frac{h}{\frac{b-a}{2}}\]

Дано, что \(\alpha = arctg \frac{4}{3}\). Подставим это значение:

\[\frac{4}{3} = \frac{h}{\frac{b-a}{2}}\]

Получаем:

\[h = \frac{4}{3} \cdot \frac{b-a}{2}\]

Теперь мы можем использовать найденное значение высоты, чтобы найти площадь трапеции:

\[S = \frac{(a + b) \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{b-a}{2}}{2}\]

Упростим это выражение:

\[S = \frac{2(a + b)(b - a)}{6}\]

\[S = \frac{(a + b)(b - a)}{3}\]

\[3S = (a + b)(b - a)\]

Теперь давайте решим это уравнение относительно радиуса вписанной окружности. Радиус вписанной окружности является высотой треугольника с основанием \(b - a\) и площадью \(3S\). Имеем:

\[r = \frac{3S}{\frac{b-a}{2}}\]

\[r = \frac{6S}{b-a}\]

Получаем выражение для радиуса. Надеюсь, школьник сможет применить эту формулу для нахождения радиуса вписанной окружности в задаче.