Какова высота цилиндра, в котором вписан квадрат со стороной a, вращаясь вокруг его оси, при условии, что радиус

Артемович_5741

70

Пусть сторона квадрата, вписанного в цилиндр, равна \(a\).

Так как квадрат вписан в цилиндр, то каждая сторона квадрата будет касаться окружности, образующей нижнее основание цилиндра. А так как вращаясь вокруг своей оси, окружность будет описывать внешнюю поверхность цилиндра. Значит, радиус основания цилиндра будет равен половине длины стороны квадрата, то есть \(\frac{a}{2}\).

Формула для объема цилиндра выглядит следующим образом:
\[V = \pi r^2 h,\]
где \(V\) - объем цилиндра, \(r\) - радиус основания цилиндра, \(h\) - высота цилиндра.

Подставим данные значения в формулу:
\[\frac{a}{2} = \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 h.\]

Далее решим это уравнение относительно \(h\).
Раскроем скобки:
\[\frac{a}{2} = \pi \cdot \frac{a^2}{4} \cdot h.\]

Упростим выражение:
\[\frac{a}{2} = \frac{\pi a^2}{4} \cdot h.\]

Домножим обе части уравнения на \(\frac{4}{\pi a^2}\):
\[\frac{2}{a} = h.\]

Итак, высота цилиндра, в котором вписан квадрат со стороной \(a\), при условии, что радиус основания цилиндра равен \(\frac{a}{2}\), равна \(\frac{2}{a}\).