Найдите такое натуральное значение параметра c, при котором уравнение x3+3x2−144x−c=0 имеет ровно два корня

Laki_7252

21

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом. У нас есть уравнение \(x^3 + 3x^2 - 144x - c = 0\), и нам нужно найти значение параметра \(c\), при котором у уравнения будет ровно два корня.

1. Сначала давайте вспомним, что кубичесное уравнение обычно имеет три корня (возможно, с учетом кратности). Поэтому, чтобы удовлетворить условию задачи, один из корней должен иметь кратность два.

2. Давайте посмотрим на уравнение и разберемся, каким образом мы можем использовать это условие. У нас есть \(x^3 + 3x^2 - 144x - c = 0\). Если один из корней имеет кратность два, то это означает, что уравнение можно факторизовать в виде \((x - r)(x - r)(x - s) = 0\), где \(r\) - корень кратности два, а \(s\) - оставшийся корень.

3. Давайте упростим наше уравнение, используя факторизацию. Раскроем скобки и приравняем к нулю:
\((x - r)(x - r)(x - s) = 0\)
\((x - r)^2(x - s) = 0\)

4. Раскроем скобки \((x - r)^2\) и получим:
\((x - r)(x - r)(x - s) = 0\)
\((x^2 - 2rx + r^2)(x - s) = 0\)
\(x^3 - (2r + s)x^2 + (r^2 + 2rs)x - r^2s = 0\)

5. Теперь сравним наше полученное уравнение с исходным уравнением \(x^3 + 3x^2 - 144x - c = 0\). Мы должны заметить, что коэффициенты при одинаковых степенях \(x\) должны быть равными. Таким образом, мы можем сформировать следующую систему уравнений:
\(- (2r + s) = 3\)
\(r^2 + 2rs = 144\)
\(- r^2s = c\)

6. Решим эту систему уравнений относительно параметра \(c\).
Из первого уравнения получим: \(s = -3 - 2r\)
Подставим это значение \(s\) во второе уравнение и получим:
\(r^2 + 2r(-3 - 2r) = 144\)
\(r^2 - 6r - 4r^2 = 144\)
\(-3r^2 - 6r - 144 = 0\)

7. Теперь мы можем решить полученное квадратное уравнение, используя квадратную формулу или факторизацию. Дискриминант этого уравнения равен \((-6)^2 - 4*(-3)*(-144) = 36 - 1728 = -1692\). Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение не имеет вещественных корней. Таким образом, задача не имеет решения в натуральных числах.

8. Вывод: Нет такого натурального значения параметра \(c\), при котором уравнение \(x^3 + 3x^2 - 144x - c = 0\) имеет ровно два корня.

Я надеюсь, что это пошаговое объяснение решения помогло вам понять решение задачи.