Какова вероятность того, что: a) успех произойдет во втором испытании? б) успех произойдет после четвертого испытания?

Magicheskaya_Babochka

23

Для решения этой задачи, нам необходимо знать вероятность успеха в одном испытании. Пусть вероятность успеха в одном испытании равна \(p\), а вероятность неудачи равна \(q = 1-p\).

a) Для того чтобы успех произошел во втором испытании, мы должны сначала неудачить в первом, а затем успешно завершить второе испытание. Таким образом, вероятность успеха во втором испытании равна произведению вероятности неудачи в первом испытании (\(q\)) на вероятность успеха во втором испытании (\(p\)). Мы можем записать это следующим образом:

\[P(\text{{успех во втором испытании}}) = q \cdot p\]

b) Чтобы успех произошел после четвертого испытания, нам нужно неудачить в первых трех испытаниях и затем успешно завершить четвертое испытание. Вероятность этого равна:

\[P(\text{{успех после четвертого испытания}}) = q^3 \cdot p\]

в) Чтобы успех произошел не позже шестого испытания, мы должны неудачить в первых пяти испытаниях и затем успешно завершить шестое испытание. Вероятность этого равна:

\[P(\text{{успех не позже шестого испытания}}) = q^5 \cdot p\]

г) Чтобы количество испытаний, необходимых для достижения успеха, составляло от трех до пяти, мы можем посчитать вероятность для каждого из трех случаев отдельно (3, 4 и 5 испытаний) и затем сложить их. Вероятность для каждого случая равна:

\[P(\text{{3 испытания}}) = q^2 \cdot p\]
\[P(\text{{4 испытания}}) = q^3 \cdot p\]
\[P(\text{{5 испытаний}}) = q^4 \cdot p\]

Итак, вероятность того, что количество испытаний для достижения успеха будет составлять от трех до пяти, равна:

\[P(\text{{от трех до пяти испытаний}}) = P(\text{{3 испытания}}) + P(\text{{4 испытания}}) + P(\text{{5 испытаний}})\]