Найдите угол, под которым отсекается дуга AC на большей дуге окружности, если дуга AB имеет меньший угол 110 градусов

Радуга

69

Данная задача основана на свойствах окружностей и дуг, и ее решение требует применения нескольких шагов. Давайте разберемся подробнее:

1. Рассмотрим сначала свойство отношения углов и отношения длин дуг в окружности. Это свойство гласит, что отношение длины дуги к длине окружности равно отношению соответствующего угла к 360 градусам. Другими словами, для дуги AC имеем: \(\frac{AC}{2\pi r} = \frac{\angle AC}{360^\circ}\), где \(r\) - радиус окружности.

2. По условию задачи нам известно, что длина дуги AS в 13 раз больше длины дуги AC, то есть \(\frac{AS}{AC} = 13:12\). Заметим также, что поскольку угол АВК (отметим его как \(\angle ABK\)) составляет 110 градусов, то угол АCK, который мы и ищем, будет равен 360 минус этот угол.

3. Для удобства заменим длину дуги AC в формуле первого шага, введя новую переменную x, тогда получим следующее уравнение: \(\frac{x}{2\pi r} = \frac{360 - \angle ABK}{360^\circ}\).

4. Разделим уравнение \(\frac{AS}{AC} = 13:12\) на \(\frac{x}{2\pi r} = \frac{360 - \angle ABK}{360^\circ}\) и немного преобразуем его, чтобы избавиться от обратных отношений: \(\frac{AS \cdot 2\pi r}{x} = \frac{360^\circ}{360 - \angle ABK} \cdot \frac{13}{12}\). Отметим, что длина окружности 2πr в числителе дроби не изменилась, так как радиус остался тем же.

5. По условию известно, что \(\frac{AS}{AC} = 13:12\), поэтому мы можем заменить это отношение в нашем уравнении выражением \(\frac{13}{12}\): \(\frac{AS \cdot 2\pi r}{x} = \frac{360^\circ}{360 - \angle ABK} \cdot \frac{13}{12}\).

6. Теперь осталось только решить это уравнение относительно неизвестной величины \(\angle ABK\). Подставим известные значения длины дуги AS и AC: \(\frac{13 \cdot 2\pi r}{x} = \frac{360^\circ}{360 - \angle ABK} \cdot \frac{13}{12}\).

7. Так как угол \(\angle ABK\) также содержится в той же окружности, то сумма углов, составляющихся на дуге AB и дуге AC, равна 360 градусам. Поэтому можно написать следующее уравнение: \(\angle ABK + \angle ACK = 360^\circ\).

8. Далее, заметим, что угол ACK равен \(360^\circ - \angle ABK\), поэтому можно заменить \(\angle ACK\) на \(360^\circ - \angle ABK\) в уравнении из пункта 7: \(\angle ABK + (360^\circ - \angle ABK) = 360^\circ\).

9. Упростим получившееся уравнение: \(\angle ABK - \angle ABK + 360^\circ = 360^\circ\). Левая часть уравнения равна правой части.

10. Таким образом, получаем, что \(\angle ABK\) может иметь любое значение, так как оно уничтожается при вычитании.

Итак, ответ на задачу: угол, под которым отсекается дуга AC на большей дуге окружности, может быть любым.