Найдите вектор, коллинеарный данному вектору a(1,2,3), с началом в точке a(1,1,1) и концом на плоскости

Золотой_Орел

52

Чтобы найти вектор, коллинеарный данному вектору \( \mathbf{a} = (1, 2, 3) \), с началом в точке \( A(1, 1, 1) \) и концом на плоскости, мы можем использовать следующий подход:

1. Найдите уравнение плоскости, на которой должен лежать конец искомого вектора.

Для этого нам понадобится информация о нормале плоскости. Используя нормальный вектор плоскости \( \mathbf{n} = (n_1, n_2, n_3) \), мы можем записать уравнение плоскости в общем виде \( n_1(x - x_0) + n_2(y - y_0) + n_3(z - z_0) = 0 \), где \( (x_0, y_0, z_0) \) - координаты точки \( A \) на плоскости.

Так как мы ищем вектор, который лежит на плоскости, можно записать его конечную точку как \( B(x, y, z) \), где \( (x, y, z) \) - его координаты. Подставляя это в уравнение плоскости и учитывая координаты точки \( A(1, 1, 1) \), мы получаем:

\( n_1(x - 1) + n_2(y - 1) + n_3(z - 1) = 0 \) (1)

2. Найдите вектор, перпендикулярный данному вектору \( \mathbf{a} \).

Для этого нам понадобится использовать свойство скалярного произведения. Если \( \mathbf{u} \) и \( \mathbf{v} \) - два вектора, то их скалярное произведение равно 0, если они перпендикулярны. Запишем это как \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{u} = 0 \).

Используя координаты вектора \( \mathbf{a} = (1, 2, 3) \) и координаты вектора \( \mathbf{u} = (u_1, u_2, u_3) \), мы можем записать скалярное произведение и приравнять его к 0:

\( 1 \cdot u_1 + 2 \cdot u_2 + 3 \cdot u_3 = 0 \) (2)

3. Решите систему уравнений (1) и (2), чтобы найти значения переменных \( x \), \( y \) и \( z \).

Решая систему уравнений (1) и (2), мы можем найти значения переменных \( x \), \( y \) и \( z \), которые определяют конечную точку вектора, лежащего на плоскости. Решив эту систему, мы получаем:

\[
\begin{align*}
n_1(x - 1) + n_2(y - 1) + n_3(z - 1) &= 0 \\
u_1 + 2u_2 + 3u_3 &= 0
\end{align*}
\]

После решения этой системы уравнений, мы получаем значения \( x \), \( y \) и \( z \), которые задают точку \( B(x, y, z) \).

4. Найдите искомый вектор \( \mathbf{v} \).

Так как начало вектора \( \mathbf{v} \) задано точкой \( A(1, 1, 1) \), а его конец задан точкой \( B(x, y, z) \), мы можем найти искомый вектор, используя формулу:

\( \mathbf{v} = \mathbf{AB} = (x - 1, y - 1, z - 1) \)

Подставьте значения \( x \), \( y \) и \( z \), полученные на предыдущем шаге, чтобы найти искомый вектор \( \mathbf{v} \).