Найдите величину двугранного угла, если отрезок АВ лежит в одной из граней угла, точка В находится на ребре угла

Ольга

37

Для начала разберемся с условием задачи. У нас есть двугранный угол, в одной из граней которого лежит отрезок AB. Ребро этого угла пересекается с отрезком AB в точке B. Длина отрезка AB равна 7 см, а проекция отрезка AB на ребро угла равна √17 см. Нам также нужно найти расстояние между точкой A и второй гранью угла.

Давайте решим эту задачу пошагово:

Шаг 1: Обозначим величину угла, которую мы ищем, как α.

Шаг 2: Из условия задачи мы знаем, что проекция отрезка AB на ребро угла равна √17 см. Это означает, что косинус угла α равен отношению длины проекции (√17 см) к длине отрезка AB (7 см):
\(\cos(α) = \frac{{\text{{длина проекции}}}}{{\text{{длина отрезка AB}}}} = \frac{{\sqrt{17}}}{{7}}\)

Шаг 3: Используя тригонометрическую формулу \( \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 \), мы можем выразить синус угла α:
\(\sin^2(α) = 1 - \cos^2(α) = 1 - \left(\frac{{\sqrt{17}}}{{7}}\right)^2\)

Шаг 4: Теперь мы можем найти синус угла α, взяв квадратный корень из \( \sin^2(α) \):
\(\sin(α) = \sqrt{1 - \left(\frac{{\sqrt{17}}}{{7}}\right)^2}\)

Шаг 5: Используя определение тангенса как отношения синуса к косинусу, мы можем выразить тангенс угла α:
\tan(α) = \frac{{\sin(α)}}{{\cos(α)}} = \frac{{\sqrt{1 - \left(\frac{{\sqrt{17}}}{{7}}\right)^2}}}{\frac{{\sqrt{17}}}{{7}}}

Шаг 6: Из нашего условия задачи нам также известно расстояние между точкой A и второй гранью угла. Обозначим это расстояние как d.

Шаг 7: Теперь мы можем найти значение угла α, используя теорему Пифагора для нахождения длины отрезка AB в треугольнике ABD:
\(AB^2 = BD^2 + AD^2\)
\(7^2 = d^2 + (\sqrt{17})^2\)

Шаг 8: Решим уравнение из предыдущего шага и найдем значение d:
\(49 = d^2 + 17\)
\(d^2 = 49 - 17\)
\(d^2 = 32\)
\(d = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\)

Шаг 9: Теперь, когда у нас есть значение d, мы можем найти тангенс угла α:
\tan(α) = \frac{{\sqrt{1 - \left(\frac{{\sqrt{17}}}{{7}}\right)^2}}}{\frac{{\sqrt{17}}}{{7}}} = \frac{{\sqrt{1 - \frac{{17}}{{49}}}}}{\frac{{\sqrt{17}}}{{7}}}

Шаг 10: Наконец, найдем значение угла α, взяв арктангенс от значения, которое мы вычислили в предыдущем шаге:
\(α = \arctan \left(\frac{{\sqrt{1 - \frac{{17}}{{49}}}}}{\frac{{\sqrt{17}}}{{7}}}\right)\)

Таким образом, мы нашли значение двугранного угла, используя пошаговое решение и все данные, предоставленные в задаче.